Нуль

цэлы лік
(Перанакіравана з «0 (лік)»)

Нуль[1] (ад лац. nullus — «ніякі») (0) — цэлы лік, які разьдзяляе на лікавай прамой дадатныя й адмоўныя цэлыя лікі; умоўная велічыня, ад якой пачынаецца вылічэньне падобных ёй велічынь (тэмпэратуры, часу й падобных)[2].

0
Нуль
  −2 · −1 · 0 · 1 · 2  

Вытворныя словы
Парадкавы лічэбнікНулявы
У іншых сыстэмах зьлічэньня
Двайковая0
Шаснаццаткавая0
Грэцкая𐆊

Лічбавы знак «0», які абазначае адсутнасьць велічыні (дабаўлены справа ад лічбы ўдзесяцярае яе)[2].

Асноўныя ўласьцівасьці нуля

рэдагаваць
  • Нуль ня мае знака.
  • Любы лік пры складаньні з нулём не мяняецца.
  • Пры адніманьні нуля зь любога ліку атрымліваецца той жа лік.
  • Дамнажэньне любога ліку на нуль дае нуль.
  • Пры дзяленьні нуля на любы лік, акрамя самога 0, атрымліваецца нуль. Дзяленьне нуля на нуль прыводзіць да нявызначанасьці  .
  • Нуль зьяўляецца цотным лікам, бо пры дзяленьні на 2 атрымліваецца цэлы лік.
  • Дзяленьне на нуль немагчыма ў прасторы камплексных лікаў. На самай справе, калі абазначыць  , то па азначэньні дзяленьня фармальна павінна быць  , у той час як выраз  , пры любым камплексным  , ровен нулю. Іншымі словамі, для нуля не існуе адваротнага ліку ў прасторы комплексных лікаў. Але гэта магчыма на пашыранай камплекснай плоскасьці.
  • Пры ўзьвядзеньні любога ліку, акрамя нуля, ў нулявую ступень па азначэньні атрымліваецца 1:  , пры  .

Абагульненьні

рэдагаваць

Аналяг нуля можна ўвесьці ў любым мностве, на якім вызначана апэрацыя складаньня; у вышэйшай альгебры такі элемэнт называецца нэўтральным элемэнтам (або, у залежнасьці ад умоўнай назвы групавой апэрацыі, «адытыўным нулём», ці «мультыплікатыўнай адзінкай»). Часьцей за ўсё выкарыстоўваецца рэчаісны нуль, гэта значыць, што нуль у кантэксьце мноства рэчаісных лікаў. Іншыя распаўсюджаныя варыяцыі:

Адносіны да натуральных лікаў

рэдагаваць

Існуюць два падыходы да вызначэньня натуральных лікаў — адны аўтары адносяць нуль да натуральных лікаў[3], Extract of pages 254—255, іншыя — не. У краінах былога СССР (у тым ліку, і Беларусі) у школьных праграмах па матэматыцы не прынята адносіць нуль да натуральных лікаў (бо натуральнымі лікамі там азначаюцца як лікі, якія выкарыстоўваюцца пры лічэньні, а 0 пры лічэньні не выкарыстоўваецца), хоць гэта абцяжарвае некаторыя фармулёўкі (напрыклад, прыходзіцца адрозьніваць дзяленьне з астачай і дзяленьне без астачы).

Ужываньне

рэдагаваць

У матэматыцы

рэдагаваць
Нявызначанасьці з удзелам нуля

У матэматычным аналізе магчыма 7 нявызначаных сітуацыяў, у 4 зь якіх фармальна прысутнічае нуль (ён абазначае бесканечна малую велічыню):

       

І цалкам вызначаная сытуацыя, калі разглядаецца граніца бесканечна малой велічыні (справа ці зьлева):

  • Правая граніца:     ці    
  • Левая граніца:     ці    

У фізыцы

рэдагаваць

У іншых галінах

рэдагаваць

Гісторыя

рэдагаваць

Бабілёнскія матэматыкі выкарыстоўвалі асобны клінапісны значок для шасьцідзесятковага нуля, пачынаючы прыкладна з 300 году да н. э., а іх настаўнікі-шумеры, верагодна, рабілі гэта яшчэ раней.

Своеасаблівыя знакі нуля выкарыстоўвалі яшчэ да нашай эры старажытныя мая і іх суседзі ў Цэнтральнай Амэрыцы (старажытныя мая абазначалі нуль стылізаваным малюнкам ракавінкі).

У Старажытнай Грэцыі лік 0 быў невядомы. У астранамічных табліцах Клаўдзія Пталемея пустыя клеткі пазначаліся сымбалем ο (літара о мікрон, ад стар.-грэц. ονδεν — «нічога»); не выключана, што гэтае абазначэньне паўплывала на зьяўленьне нуля, аднак большасьць гісторыкаў прызнае, што дзесятковы нуль вынайшлі індыйскія матэматыкі. Без нуля быў бы немагчымы вынайдзены ў Індыі дзесятковы пазыцыйны запіс лікаў. Першы знак нуля знойдзены ў індыйскім запісе ад 876 году, ён мае выгляд прывычнага нам кружочка.

У Эўропе доўгі час нуль лічыўся ўмоўным знакам і не прызнаваўся лікам. Нават у XVII стагодзьдзі Валіс пісаў:

«Нуль ня ёсьць лік».

У арытмэтычных працах адмоўны лік тлумачыўся як доўг, а нуль — як сытуацыя поўнага спусташэньня. Поўнаму ўраўнаваньню яго ў правах зь іншымі лікамі асабліва спрыялі працы Леанарда Ойлера.

Глядзіце таксама

рэдагаваць

Вонкавыя спасылкі

рэдагаваць