Натуральны лік

Натуральныя лікі — элемэнты бясконцага мноства {1, 2, 3, 4…}. Гэта мноства называецца натуральны шэраг. Яго вывучаюць арытмэтыка, тэорыя лікаў і камбінаторыка.

Натуральныя лікі можна выкарыстоўваць пры лічэньні (адзін яблык, два яблыкі, тры яблыкі, …)

У некаторых навуках (тэорыі мностваў, матэматычнай лёгіцы, інфарматыцы) выкарыстоўваюць г. зв. «пашыраны натуральны шэраг» {0, 1, 2, 3, 4…}.

Гісторыя

Патрэбнасьць у натуральных ліках узьнікла пры лічэньні прадметаў. Лік «два» зьвязваўся з органамі зроку і слыху і ўвогуле з канкрэтнай парай рэчаў. «Вочы» ў індыйцаў, «Крылы» ў тыбэтцаў азначалі таксама «два». З-за неабходнасьці весьці лік любых групаў прадметаў і ўзьніклі натуральныя лікі: адзін, два, тры і г. д. Калі пазьней для падліку сталі выкарыстоўваць «эталённыя мноствы» — зарубкі, вузлы на вяроўках, каменьчыкі — узьнікла абстрактнае ўяўленьне ліку. На першых стадыях культурнага разьвіцьця чалавецтва натуральны шэраг складаўся зь нямногіх лікаў. Паступова ён абагачаўся ўсё новымі і большымі лікамі.

Аднак доўгі час натуральны шэраг лічыўся канечным, то бок людзі лічылі, што існуе нейкі апошні, найбольшы лік. І толькі ў III стагодзьдзі да н. э. Архімэд у невялікай арытмэтычнай кнізе “Псамміт” паказаў, што падлік можна працягваць бязьмежна, гэта значыць, натуральны шэраг бясконцы. Эўклід яшчэ ў III стагодзьдзі да н. э. вызначаў натуральны лік як “мноства складзенае з адзінак”. Аб натуральным у сэнсе прыродным шэрагу лікаў гаворыцца ва “Ўводзінах у арытмэтыку” грэцкага матэматыка (нэапітагарэйца) Нікамах з Геразы, які жыў каля 100 г. н. э. Арытмэтыка Нікамаха была перапрацавана і перакладзена на латцінскую мову рымскім аўтарам Баэцыем (480—524), які ўпершыню ўжыў тэрмін “Натуральны лік”, які сустракаецца затым ў некаторых сярэднявечных рукапісах. У сучасным сэнсе азначэньне і тэрмін “натуральнага ліку” сустракаецца ў францускага філёзафа і матэматыка Ж. д’Алямбэра (1717—1783).

З-за інтуітыўнай зразумеласьці тэорыяй натуральных лікаў навукоўцы доўга не цікавіліся. У пачатку 18 стагодзьдзя Ляйбніц паставіў задачу дэдуктыўнай пабудовы арытметыкі. Глыбокае дасьледаваньне правёў Грасман толькі ў 1861, а поўную сыстэму прапанаваў Пэана ў 1889.

У 1878 Кантар увёў паняцьце "магутнасьці мноства", падзяліў лікі на "ардынальныя" і "каардынальныя", у 1900 Гільбэрт зрабіў шэраг спроб скончыць працу, а ў 1932 Гёдэль паказаў, што нельга даць скончаную лягічную пабудову арытмэтыкі на аснове сыстэмы аксіём.

Аксіёматычнае ўвядзеньне Пэана

Натуральнымі лікамі называюцца элемэнты ўсякага непустога мноства $\mathbb {N}$, у якім для нейкіх элемэнтаў $a$ і $b$ існуе адносіна "$b$ накіроўваецца за $a$ (пазначаецца як $a'$) і задавальняе наступным аксіёмам, якія атрымалі назву аксіёмаў Пэана:

1. існуе 1, якое не накіроўваецца ні за ніводным элемэнтам,
2. для любога $a$ існуе $a'$, якое накіроўваецца за ім, прычым толькі адно,
3. любы элемэнт накіроўваецца ня больш чым за адным элемэнтам,
4. любое мноства $\mathbb {M}$ з уласьцівасьцямі
   • 1 прыналежыць $\mathbb {M}$,
   • калі $a$ прыналежыць $\mathbb {M}$, то і $a'$ прыналежыць $\mathbb {M}$

- супадае з $\mathbb {N}$ (аксіёма індукцыі)

На гэтам мностве можна ўвесьці апэрацыі складаньня й множаньня.

Складаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

1. $a+1=a'$
2. $a+b'=(a+b)'$

Множаньне - гэта апэрацыя з уласьцівасьцямі:

1. $a\times 1=a$
2. $a\times b'=a\times b+a$

Тэарэтыка-мноственнае ўвядзеньне

Пашыраны натуральны шэраг можна ўвесьці як магутнасьць канечнага мноства. У адрозьненьне ад аксіёматыкі Пэаны, натуральныя лікі тут азначаюць не парадак, а колькасьць. Вось прыклад такога азначэньня:

• 0 = { }
• 1 = {0} = {{ }}
• 2 = {0,1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
• 3 = {0,1,2} = {0, {0}, {0, {0}}} = {{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
• n = {0,1,2,...,n−2,n−1} = {0,1,2,...,n−2} ∪ {n−1} = (n−1) ∪ {n−1}

Уласьцівасьці

Мноства натуральных лікаў зьлічальнае, абмежаванае зьнізу. На ім вызначаныя поўны парадак, апэрацыі складаньне й множаньне (для ўсіх лікаў), адыманьне й дзяленьне (не для ўсіх лікаў).

Літаратура

• Энциклопедия элементарной математики под редакцией П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия под редакцией А.П. Юшкевич
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть І.
• Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике.
• Глейзер Г. И. История математики в школе.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Что такое математика?