Дзяленьне

Дзяле́ньне — бінарная апэрацыя над матэматычнымі аб’ектамі, адваротная да множаньня.

$20\div 4=5$

Апэрацыя дзяленьня мае два апэранды: дзеліва і дзельнік. Дзеліва — лік або, увогуле, матэматычны аб’ект, які дзеляць, дзельнік — лік або матэматычны аб’ект на які дзеляць. Вынік дзяленьня завуць дзельлю.

Дзяленьне лікаў пазначаюць двухкроп’ем «:». У вылічальнай тэхніцы і праграмаваньні распаўсюджанае таксама абазначэньне апэрацыі дзяленьня знакам «/» («слэш»).

Любы дроб таксама можна разглядаць як запіс апэрацыі дзяленьня, у якой дзелівам зьяўляецца лічнік, а дзельнікам — назоўнік дробу.

Азначэньне

Дзяленьне натуральных лікаў

Апэрацыя дзяленьня не зьяўляецца замкнёнай на мностве натуральных лікаў. Гэта значыць, што не для кожных двух натуральных лікаў існуе натуральны лік, што зьяўляецца іх дзельлю. Калі ж для лікаў a і b такі лік усё ж існуе, то кажуць, што a дзеліцца на b, b зьяўляецца дзельнікам a або a кратнае да b. Наяўнасьць дзелі для некаторых лікаў называюць іх падзельнасьцю.

Існуюць правілы, якія дазваляюць хутка вызначыць, ці дзеліцца лік на зададзены дзельнік без астачы. Найбольш вядомымі зьяўляюцца прыкметы падзельнасьці на 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11, 25 і вытворныя ад іх, таксама існуюць прыкметы падзельнасьці на 7, 13, 1001 і іншыя лікі.

Разглядаюць таксама апэрацыі цэлалікавага дзяленьня і дзяленьня з астачай. Вынікам цэлалікавага дзяленьня двух натуральных лікаў зьяўляецца найбольшы зь лікаў, вынік множаньня якога на дзельнік не перавышае дзеліва. Напрыклад,

7 : 2 = 3 (бо 2 × 3 = 6, а 2 × 4 = 8 > 7)

Вынік цэлалікавага дзяленьня называюць таксама няпоўнай дзельлю.

Астачай ад дзяленьня ліка a на лік b зьяўляецца рознасьць між лікам a і найбліжэйшым да яго (зьнізу) лікам, што дзеліцца на b. Напрыклад, астачай ад дзяленьня 26 на 7 зьяўляецца 5, бо найбліжэйшым да 26 (зьнізу) лікам, кратным да 7, зьяўляецца 21, а яно на 5 менш, чым 26.

Разгляд астачаў, іх параўнаньне і фармалізацыя ў выглядзе вылікаў спрычыніліся да ўзьнікненьня цэлай навукі — тэорыі лікаў.

Звычайна на астачу накладаюцца наступныя абмежаваньні:

$a=p\cdot q+r$. $0\leqslant r<|p|$.

Дзе $a$ — дзеліва, $p$ — дзельнік, $q$ — дзель і $r$ — астача.

Цэлы лік, на які адначасова дзеляцца без астачы некалькі лікаў, завецца іх агульным дзельнікам.

Вызначэньне колькасьці дзельнікаў натуральнага ліку прыводзіць да двух важных паняцьцяў — складовага і простага ліку. У простага ліку ёсьць толькі два дзельнікі — 1 і сам лік.

Дзяленьне цэлых лікаў

Дзяленьне адвольных цэлых лікаў неістотна адрозьніваецца ад дзяленьня натуральных лікаў — дастаткова падзяліць іх модулі і ўлічыць правіла знакаў.

Аднак дзяленьне цэлых лікаў з астачай вызначаецца неадназначна. У адным выпадку, (гэтак жа як і без астачы) разглядаюць спачатку модулі і ў выніку астача набывае той жа знак, што дзельнік ці дзеліва (напрыклад, $-7/(-3)=2$ з астачай (-1)); у іншым выпадку паняцьце астачы напроста абагульняецца і абмежаваньні запазычваюцца з натуральных лікаў:

$-7\equiv 2{\pmod {3}}$.

Дзяленьне рацыянальных лікаў

Праблема незамкнёнасьці апэрацыі дзяленьня вырашаецца ўвядзеньнем паняцьця дробу і пераходам да мноства рацыянальных лікаў.

Правіла дзяленьня звычайных дробаў: ${\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Дзяленьне камплексных лікаў

Для таго, каб падзяліць камплексны лік $x_{1}+iy_{1}\,$ на камплексны лік $x_{2}+iy_{2}\,$ трэба запісаць дзель ў выглядзе дробу, а потым памножыць лічнік і назоўнік на лік спалучаны да назоўніка

${\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}={\frac {(x_{1}+iy_{1})(x_{2}-iy_{2})}{(x_{2}+iy_{2})(x_{2}-iy_{2})}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+i(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$

Дзяленьне ў альгебры

На адвольных мноствах і структурах дзяленьне можа быць ня толькі ня вызначаным, але й мець множнасьць выніку.

Звычайна ў альгебры дзяленьне ўводзіцца праз паняцьце адзінкавага і адваротнага элемэнтаў. Калі адзінкавы элемэнт уводзіцца адназначным чынам (звычайна аксіяматычна або па азначэньні), то адваротны элемэнт часта можа быць як левым ($x^{-1}*x=e$), так і правым ($x*x^{-1}=e$). Гэтыя два адваротныя элемэнты могуць існаваць або не існаваць па асобнасьці, ураўноўвацца або не ўраўноўвацца адзін да аднаго.

Да прыкладу, стасунак матрыц вызначаецца праз адваротную матрыцу, пры гэтым нават для квадратных матрыц можа быць:

$B^{-1}\cdot A\neq A\cdot B^{-1}$.

Стасунак тэнзараў у агульным выпадку ня вызначаны.

Дзяленьне мнагаскладаў

Агульным чынам дзяленьне паліномаў адпавядае прынцыпам дзяленьня натуральных лікаў, бо натуральны лік па сутнасьці зьяўляецца значэньнем мнагаскладу, каэфіцыенты якога — лічбы, а замест зьменнай стаіць аснова сыстэмы лічэньня:

$5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3}+3x^{2}+3x+4)\right|_{x=8}$.

Аналягічна вызначаюцца: дзель, дзельнік, дзеліва і астача (з той розьніцай, што абмежаваньне накладваецца на ступень астачы). Таму для дзяленьня паліномаў таксама ўжываецца дзяленьне ў слупок.

Адметнасьць дзяленьня паліномаў крыецца ў тым, што асноўная ўвага надаецца ступені дзеліва і дзельніка, а не каэфіцыентам. Таму звычайна лічыцца, што дзель і дзельнік (а такім чынам і астача) вызначаныя з дакладнасьцю да сталага множніка.

Дзяленьне на нуль

Згодна з правіламі арытмэтыкі дзяленьне на лік 0 забараняецца, бо яно прыводзіць да супярэчнасьці.

Іншая рэч — дзяленьне на бясконца малую функцыю ці пасьлядоўнасьць (якія можна лічыць «нулямі» ў адпаведных мноствах). Дзяленьне канцавых функцыяў на бясконца малыя вядзе да зьяўленьня бясконца вялікіх, а стасунак дзьвюх бясконца малых завецца нявызначанасьцю 0/0, якую можна пераўтварыць (раскрываньне нявызначанасьцяў) для таго, каб атрымаць вызначаны вынік.