Лік

Лік — адзін з асноўных паняткаў матэматыкі. Ён паходзіць з даўніх часоў і паступова пашыраецца адпаведна таму, як пашыралася сфэра чалавечай дзейнасьці і зьяўляліся новыя праблемы, што патрабавалі колькаснага апісаньня і вывучэньня.

Гісторыя разьвіцьця лікаў

Здагадкі пра першыя лікі зьявіліся ў дагістарычны час, калі чалавеку спатрэбілася лічыць прадметы. Паступова паняцьце «шмат» зрушвалася на «больш за два», «больш за тры», «больш за сем», «больш за сорак» і гэтак далей. Так быў уведзены натуральны шэраг ( $\mathbb {N}$ ). Выкарыстаньне «эталённага мноства» (каменьчыкі, вузельчыкі і падобныя), пачало фармавацца абстрактнае паняцьце ліка.

У Старажытным Эгіпце выкарыстоўваліся простыя (аліквотныя) дробы, то бок дробы выгляду ${\frac {1}{n}}$ . Значна больш дробы, як і увогуле матэматычныя веды, былі разьвітыя ў Старажытным Міжрэччы. У Грэцыі лікам быў «збор адзінак», то бок толькі натуральны лік. Грэкі ведалі дробы і ўмелі апэраваць зь імі, але не адносілі стасункі да лікаў. У III стагодзьдзі нашай эры Дыяфант упершыню пачынае разглядаць адмоўныя лікі, але пакуль толькі як дапаможную прыладу. У прыватнасьці, калі падчас разьвязаньня раўнаньняў ён атрымоўвае дадатныя і адмоўныя адказы, вынікам ён пакідае толькі дадатны лік. У яго працах дробы ўжо таксама адносяцца да лікаў, і нават зьяўляецца паняцьце пра ірацыянальныя лікі.

Толькі ў XVI стагодзьдзі Сыман Стывэн уключае ірацыянальныя лікі ў шэраг лікаў. З асьцярожнасьцю ён адносіць туды і адмоўныя лікі, але па-ранейшаму называе адмоўныя карані альгебраічнага раўнаньня «фіктыўнымі». Геамэтрычную трактоўку адмоўным лікам даюць Жырар і Дэкарт. Канцэпцыя адзінага паняцьця рэчаіснага ліка цалкам перамагла толькі ў XVII стагодзьдзі ў працах Валіса і Ньютана. Тады ж ірацыянальныя лікі пачынаюць дзяліць на альгебраічныя і трансцэндэнтныя.

Першае згадваньне уяўных лікаў сустракаецца у Карданы ў сярэдзіне XVI стагодзьдзя. Некалькі гадоў пазьней Рафаэль Бамбэлі пачынае разьвіваць тэорыю уяўных лікаў. У XVII стагодзьдзі ўжо шматлікія матэматыкі разумеюць карыснасьць уяўных лікаў, але ставяцца да іх толькі як да прылады, як раней да адмоўных.

Тэорыя адмоўных лікаў не задавальняла матэматыкаў, і у XVIII стагодзьдзі працягваюцца спробы ўвесьці і абгрунтаваць апэрацыі зь імі, але стварыць лягічна завершаную тэорыю не атрымалася ні ў аднаго навукоўца. Першыя тэорыі адмоўных лікаў былі распрацаваныя ў другой трэці XIX стагодзьдзя Гамільтанам і Грамсанам.

Уяўныя (камплексныя) лікі $\mathbb {C}$ , якія выкарыстоўваліся матэматыкамі як нейкая зручная прылада, былі складаныя для зразуменьня, таму што ня мелі геамэтрычнай інтэрпрэтацыі. Поўнае геамэтрычнае вытлумачэньне прывёў Каспар Вэсэль у канцы 18 стагодзьдзя. Нажаль, гэтая праца стала вядомай толькі ў канцы XIX стагодзьдзі, калі была перакладзена на францускую мову. Для прыняцьця ўяўнага ліку асноўную ролю згуляў Гаўс у пачатку XIX стагодзьдзя.

У 1853 Гамільтан пашырае паняцьце ліка да кватэрніонаў $\mathbb {H}$ , адмовіўшыся ад камутатыўнасьці, а неўзабаве Грэйўс, Кэлі і Кіркман даюць новае абагульненьне — актаніёны (актавы) $\mathbb {O}$ , якія не валодаюць яшчэ і уласьцівасьцю асацыятыўнасьці.

Такім чынам, мноствы лікаў суадносяцца наступным чынам:

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O}

Мноства лікаў як пашырэньня

Натуральны шэраг $\mathbb {N}$ і асноўныя апэрацыі складаньне, адыманьне, множаньне і дзяленьне вядомы з старажытных часоў. Іх можна разглядваць ў аксыёматыцы Пеаны. На натуральных ліках карэктна зададзеныя толькі апэрацыі складаньня і множаньня.

Пашырэньне натуральнага шэрага па апэрацыі адыманьня дае шэраг цэлых лікаў $\mathbb {Z}$ . Пашырэньне яго па апэрацыі дзяленьня дае мноства рацыянальных лікаў $\mathbb {Q}$ .

Цяпер усе апэрацыі (за выключэньнем дзяленьня на нуль) зададзеныя карэктна. Але на рацыянальных ліках немагчыма зьдзейсьніць пераход да ліміта. Замыканьне мноства $\mathbb {Q}$ дае шэраг $\mathbb {R}$ рэчаісных лікаў.

Альгебраічнае замыканьне $\mathbb {R}$ , то бок дадаваньне мноства каранёў паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, дае камплексную плоскасьць $\mathbb {C}$ . Далей пашырэньне да гіпэркамплексных лікаў дае мноства кватэрніёнаў $\mathbb {H}$ , на якім адсутнічае камутатыўнасьць, а потым мноства актавіёнаў (актаў, альгебру Кэлі) $\mathbb {O}$ , на якім адсутнічае асацыятыўнасьць. Наступнае пашырэньне магчыма толькі з стратай дыстрыбутыўнасьці і ня мае практычнага сэнсу.

Прадстаўленьне лічбаў у памяці кампутара

Для прадстаўленьня натуральнай лічбы ў памяці кампутара, яно звычайна пераводзіцца ў двайковую сыстэму зьлічэньня. Для ўяўленьня адмоўных лічбаў выкарыстоўваецца г. зв. дадатковы код лічбы, які атрымліваецца шляхам даданьня адзінкі да інвэртаванага прадстаўленьня модуля дадзенай адмоўнай лічбы ў двайковай сыстэме зьлічэньня.

Прадстаўленьне сапраўдных лічбаў у памяці кампутара мае некаторыя абмежаваньні зьвязаныя з сыстэмай зьлічэньня, якая выкарыстоўваецца, а таксама абмежаванасьцю аб’ёму памяці, якая выдзяляецца пад лічбы. Сапраўдныя лічбы звычайна прадстаўляюцца ў выглядзе лічбай з плавальнай коскай. пры гэтым толькі некаторыя з сапраўдных лічбаў могуць быць прадстаўленыя ў памяці кампутара дакладным значэньнем, у той час як астатнія лічбы прадстаўляюцца набліжанымі значэньнямі. У найбольш распаўсюджаным фармаце лічба з плавальнай коскай прадстаўляецца ў выглядзе пасьлядоўнасьці бітаў, частка зь якіх кадыруе сабой мантысу лічбы, іншая частка — паказальнік ступені, і яшчэ адзін біт выкарыстоўваецца для пазначэньня знака лічбы.

Глядзіце таксама

Літаратура

История математики с древнейших времён до начала XIX века под редакцией А. П. Юшкевича
Дж. Стиллвелл, Математика и её история