Тэарэма Гаўса

Тэарэ́ма Га́ўса — адзін з асноўных законаў электрадынамікі, вызначае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам у аб'ёме, які атачае гэтая паверхня. Тэарэма Гаўса ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла.

Клясычная электрадынаміка
Магнітныя лініі ў саленоідзе
Электрычнасьць · Магнэтызм


Тэарэма Гаўса для напружанасьці электрычнага поляРэдагаваць

Тэарэма Гаўса для поля і зарадаў у вакуўме фармулюецца наступным чынам:

Струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.
СГС СІ
 
 

дзе

  •   — струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню  ;
  •   — поўны зарад у аб'ёме, які атачае паверхня  ;
  •   — электрычная канстанта.

Тэарэму Гаўса можна сфармуляваць і ў дыфэрэнцыйнай форме:

СГС СІ
 
 

дзе   — аб'ёмная шчыльнасьць электрычнага зараду.

Вывад з закону КулёнаРэдагаваць

Доказ: Струмень вэктара напружанасьці пунктавага зараду праз элемэнт паверхні dS складае

 , дзе   праекцыя dS на роўніцу, пэрпэндыкулярную да вэктару  , накіраванага ад зараду да паверхні.

Велічыня   уяўляе сабой цялесны кут  , пад якім з пункту знаходжаньня зараду бачная паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны струмень праз замкнёную паверхню роўны

 

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, дык яго струмень праз паверхню роўны нулю, таму што любая простая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасьць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і другі раз — выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып супэрпазыцыі электрычных палёў, агульны струмень праз замкнёную паверхню можна знайсьці як суму струменяў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

 

Тэарэма Гаўса зьяўляецца вынікам закона Кулёна. Яна ўжываная і да іншых палёў, напружанасьць якіх вызначаецца законам, падобным да кулёнаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненьні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасьці будзе выконваць паскарэньне вольнага падзеньня, а замест зараду будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

 

дзе G — унівэрсальная гравітацыйная канстанта.