Раўнаньні Максўэла

Раўнаньні Максўэла — сыстэма дыфэрэнцыйных раўнаньняў, якія апісваюць электрамагнітнае поле і ягоную сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі. Раўнаньні былі сфармуляваныя Джэймзам Кларкам Максўэлам у XIX стагодзьдзі на падставе накопленых экспэрымэнтальных дадзеных. Адыгралі важную ролю ў зьяўленьні спэцыяльнае тэорыі адноснасьці.

Клясычная электрадынаміка

Электрычнасьць · Магнэтызм Электрастатыка Закон Кулёна Прынцып супэрпазыцыі Тэарэма Гаўса Эквіпатэнцыйная паверхня Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Бія — Савара — Лапласа Закон Ампэра Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны струмень Электрадынаміка Дыполь Сіла Лёрэнца Ток зруху Уніпалярная індукцыя Раўнаньні Максўэла Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьваньне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Законы Кірхгофа Індуктыўнасьць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасьць Электрычная праводнасьць Супор Электрычны імпэданс Вядомыя навукоўцы Гэнры Кавэндыш Майкл Фарадэй Андрэ-Мары Ампэр Густаў Робэрт Кірхгоф Джэймз Кларк Максўэл Гэнры Рудольф Гэрц Альбэрт Абрахам Майкэльсан Робэрт Эндрус Мілікэн

Агульнае апісаньне

Раўнаньні Максўэла апісваюць, якім чынам электрамагнітнае поле ствараецца электрычнымі зарадамі і токамі і якім чынам зьменныя электрычнае і магнітнае палі спараджаюць адно адно. Раўнаньні Максўэла зьяўляюцца каварыянтнымі, гэта значыць задавальняюць прынцыпам спэцыяльнай тэорыі адноснасьці. Іх можна запісаць у яўна каварыянтнай чатырохвымернай, альбо ў трохвымернай форме. У першым выпадку атрымліваюцца два чатырохвымерныя раўнаньні, у другім чатыры пары эквівалентных ім раўнаньняў (два вэктарныя і два скалярныя).

Закон Гаўса

Асноўны артыкул: тэарэма Гаўса

Закон Гаўса апісвае, якім чынам электрычныя зарады спараджаюць электрычнае поле: ён дае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам, які яна атачае. Фармулюецца наступным чынам:

струмень вэктару напружанасьці (для палёў у рэчыве — індукцыі) электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе памераў і формы, а вызначаецца толькі поўным зарадам, зьмешчаным у аб'ёме, які гэтая паверхня атачае (прапарцыйны яму).

Адным з вынікаў закону Гаўса зьяўляецца закон Кулёна, які апісвае поле кропкавага зараду. Хаця ён і быў адкрыты першым, аднак менавіта закон Гаўса належыць да фундамэнтальных законаў электрадынамікі (паколькі дзейнічае як для нерухомых, так і для рухомых зарадаў і ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла, якія ў сваю чаргу альбо зьяўляюцца пастулятамі электрадынамікі, атрыманымі шляхам абагульненьня экспэрымэнтальных дадзеных, альбо выводзяцца з больш агульных прынцыпаў).

Закон Гаўса для магнітнага поля

Гэты закон сьцьвярджае, што няма магнітных зарадаў, аналягічных элетрычным. Фармулюецца наступным чынам:

струмень магнітнага поля празь любую замкнёную паверхню роўны нулю.

Закон індукцыі Фарадэя

Асноўны артыкул: закон Фарадэя

Закон індукцыі Фарадэя апісвае, якім чынам зьмяненьне магнітнага поля спараджае электрычнае поле:

цыркуляцыя вэктара напружанасьці электрычнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная хуткасьці зьмяненьня напружанасьці магнітнага поля, якое пранізвае гэты контур (прычым каэфіцыент прапарцыйнасьці адмоўны).

Тэарэма пра цыркуляцыю магнітнага поля

Асноўны артыкул: закон Ампэра

Гэтае раўнаньне апісвае, якім чынам ток і зьмяненьне электрычнага поля спараджаюць магнітнае поле:

цыркуляцыя магнітнага поля па замкнёным контуры прапарцыйная суме токаў, якія пранізваюць гэты контур (з улікам току зруху, то бок зьмяненьня электрычнага поля).

Сыстэмы адзінак вымярэньня і разьмерныя канстанты

Значэньні разьмерных каэфіцыентаў, якія ўваходзяць у раўнаньні Максўэла залежаць ад выбранай сыстэмы адзінак вымярэньня. На сёньняшні дзень найбольш распаўсюджанымі зьяўляюцца дзьве: сымэтрычная Гаўсава сыстэма (СГС) і СІ. У першай адзінкі вымярэньня ўсіх палёў маюць аднолькавую разьмернасьць, а раўнаньні маюць больш просты і натуральны выгляд, другая больш распаўсюджаная на практыцы (у тым ліку ў інжынэрных разьліках). У Гаўсавай сыстэме адзінак у раўнаньнях фігуруе адна разьмерная канстанта:

• хуткасьць сьвятла ў вакуўме $c\ =29\;979\;245\;800$ см/с.

У сыстэме СІ ў раўнаньні ўваходзяць тры канстанты:

• хуткасьць сьвятла ў вакуўме $c\ =299\;792\;458$ м/с;
• магнітная канстанта $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\ =1{,}256\;637\;06\dots \times 10^{-6}$ Гн/м;
• электрычная канстанта $\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})=8{,}854\;187\;82\dots \times 10^{-12}$ Ф/м.

У сыстэме СІ ўводзяць таксама «хвалявае супраціўленьне» альбо «імпэданс» вакуўму:

$Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\approx 120\pi$ Ом.

У сыстэме СГС $Z_{0}=1\$.

Раўнаньні Максўэла ў вакуўме (раўнаньні Максўэла для мікрапалёў)

У вакуўме ў трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла маюць наступны выгляд (сыстэма СГС):

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {H} }{\partial t}},$

$\nabla \cdot \mathbf {H} =0,$

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},$

$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho .$

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

• $\rho \$ — шчыльнасьць электрычнага зараду;
• $\mathbf {j}$ — шчыльнасьць электрычнага току;
• $c\,$ — хуткасьць сьвятла ў вакуўме;
• $\mathbf {E}$ — напружанасьць электрычнага поля;
• $\mathbf {H}$ — напружанасьць магнітнага поля.

Раўнаньні Максўэла ў рэчыве (раўнаньні Максўэла для макрапалёў)

У сыстэме СГС у трохвымерным дыфэрэнцыйным выглядзе раўнаньні Максўэла запісваюцца наступным чынам:

$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$,

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$,

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$,

$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$.

Выкарыстаныя наступныя абазначэньні:

• $\mathbf {D}$ — электрычная індукцыя;
• $\mathbf {B}$ — магнітная індукцыя.

Выкарыстаўшы формулу Астраградзкага-Гаўса і формулу Стокса можна запісаць раўнаньні Максўэла ў інтэгральным выглядзе:

$\oint _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$,

$\oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$,

$\oint _{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$,

$\oint _{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int _{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$,

дзе

• $s\$ — двухвымерная замкнёная для двух першых раўнаньняў і адкрытая для двух апошніх паверхня (яе мяжой зьяўляецца замкнёны контур $l\$);
• $Q=\int _{v}\rho \,dv\$;
• $I=\int _{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$.

Каварыянтная форма раўнаньняў

У каварыянтнай форме раўнаньні Максўэла можна запісаць пры дапамозе тэнзара электрамагнітнага поля. У сыстэме СГС гэты тэнзар выглядае наступным чынам:

$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

А раўнаньні маюць такі выгляд:

$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,$

$\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$

дзе

${\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta }$ — дуальны тэнзар электрамагнітнага поля.