Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

Дыфэрэнцыйнае раўнаньнераўнаньне, якое зьвязвае значэньне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэньне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне ўтрымлівае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя зьменныя; аднак ня кожнае раўнаньне, якое зьмяшчае вытворныя невядомай функцыі, зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Напрыклад, не зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Варта таксама адзначыць, што дыфэрэнцыйнае раўнаньне можа, наогул, не зьмяшчаць невядомай функцыі, некаторых яе вытворных і свабодных зьменных, але абавязкова зьмяшчаць прынамсі адну з вытворных. Дыфэрэнцыйныя раўнаньні гуляюць важную ролю ў тэхніцы, фізыцы, эканоміцы й іншых дысцыплінах.

У прыкладаньнях матэматыкі часта ўзьнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасьць аднаго парамэтру ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасьці зьмены аднаго парамэтру адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжаньня функцыі па яе вытворнай, зьвязанай зь некаторымі іншымі выразамі.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні ўзьнікаюць у многіх галінах навукі й тэхнікі, у прыватнасьці, калі існуюць дэтэрмінаваныя адносіны з удзелам некаторых бесьперапынна зьмяняльных велічыняў і тэмпы іхных зьменаў у прасторы ці часе вядомыя. Гэтае маецца ў клясычнай мэханіцы, дзе рух цела апісваецца ягоным становішчам і хуткасьцю, у той час як значэньне часу зьмяняецца. Законы Ньютана дазваляюць з улікам месцазнаходжаньня, хуткасьці, паскарэньня й розных сілаў, якія дзейнічаюць на цела, выказаць гэтыя зьмены дынамічна праз дыфэрэнцыйнае раўнаньне для невядомага становішча цела як функцыю часу. У некаторых выпадках, гэтае дыфэрэнцыйнае раўнаньне, гэтак званыя раўнаньні руху, могуць быць вырашаны ў відавочным выглядзе.

Прыкладам мадэляваньня праблемы рэальнага сьвету з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў зьяўляецца вызначэньне хуткасьці падзеньня шара ў паветры, разглядаючы толькі гравітацыю й супраціў паветра. Паскарэньне шара да зямлі зьяўляецца паскарэньнем сілы цяжару за мінусам запаволеньня шара з-за супраціву паветра. Гравітацыя лічацца сталай велічынёй, а супраціў паветра можа быць змадэляваны як прапарцыйная велічыня да хуткасьці шара. Гэта азначае, што паскарэньне шара, якое зьяўляецца вытворным ад ягонай хуткасьці, залежыць ад хуткасьці, а хуткасьць залежыць ад часу. Знаходжаньне хуткасьці як функцыі часу ўлучае ў сябе разьвязкі дыфэрэнцыйных раўнаньняў.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні першага парадку

рэдагаваць

Раўнаньне  , дзе   — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку  , называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя   называецца разьвязкам дыфэрэнцыйнага раўнаньня  , калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на   і      .

Раўнаньні першага парадку, разьвязаныя адносна вытворнай

рэдагаваць

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку першай ступені, разьвязанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе  .

 

Разьвязаньне гэтага раўнаньня:

 

 

Аднародныя раўнаньні

рэдагаваць

Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду  . Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе  , дзе   і   зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.[1]

Для таго, каб разьвязаць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену  .

 

 

 

 

Адкуль:

 

 

Паколькі  ,  . Таксама застаўся разьвязак  , згублены пры дзяленьні на   (гл.  ).

Лінейныя раўнаньні

рэдагаваць

Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

 , дзе   і  лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня[2].

Лінейныя аднародныя раўнаньні

рэдагаваць

Калі  , то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні разьвязваюцца дзяленьнем зьменных:

 

 

Інтэгруем:  , дзе  

 , дзе  

Пры дзяленьні на   згубіўся разьвязак  .

Лінейныя неаднародныя раўнаньні

рэдагаваць

Для разьвязаньня лінейных неаднародных раўнаньняў можна ўжыць мэтад варыяцыі пастаяннай[3].

Раўнаньне Бэрнулі

рэдагаваць

Гл. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Раўнаньне Рыкаці

рэдагаваць

Гл. Раўнаньне Рыкаці

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні парадку, вышэйшага за першы

рэдагаваць

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

 .

Калі раўнаньне разьвязанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд  .

Паніжэньне парадку дыфэрэнцыйнага раўнаньня

рэдагаваць

Для разьвязаньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку трэба панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

 

Падзелім раўнаньне на  :

 .

Адкуль  ,

 ,

 .

Парадак раўнаньня панізілі.

Лінейныя раўнаньні вышэйшых парадкаў

рэдагаваць

Раўнаньне выгляду

 

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі    , то раўнаньне называецца аднародным. Калі ж  , то раўнаньне называецца неаднародным[4].

Раўнаньні з пастаяннымі каэфіцыентамі

рэдагаваць

Раўнаньне выгляду

 

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі   мае фундамэнтальную сыстэму разьвязкаў (ФСР)    .

Агульны разьвязак, які адпавядае ФСР:  , дзе   — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

 

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных[5][6].

  1. ^ Филиппов, Алексей Федорович. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. - 7-е изд., стер. - М. : Наука, 1992. - 127, [1] с. : ил. ; 20 см.
  2. ^ Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
  3. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org
  4. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 132
  5. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 136-138
  6. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org

Вонкавыя спасылкі

рэдагаваць

  Дыфэрэнцыйнае раўнаньнесховішча мультымэдыйных матэрыялаў