Дыфэрэнцыйнае раўнаньне

Дыфэрэнцыйнае раўнаньнераўнаньне, якое зьвязвае значэньне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэньне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне ўтрымлівае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя зьменныя; аднак ня кожнае раўнаньне, якое зьмяшчае вытворныя невядомай функцыі, зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Напрыклад, не зьяўляецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем. Варта таксама адзначыць, што дыфэрэнцыйнае раўнаньне можа наогул не зьмяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зьменныя, але абавязкова зьмяшчаць прынамсі адну з вытворных. Дыфэрэнцыйныя раўнаньні гуляюць важную ролю ў тэхніцы, фізыцы, эканоміцы й іншых дысцыплінах.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні ўзьнікаюць у многіх галінах навукі й тэхнікі, у прыватнасьці, калі маюцца дэтэрмінаваныя адносіны з удзелам некаторых бесьперапынна зьмяняльных велічыняў і тэмпы іхных зьменаў у прасторы ці часе вядомыя. Гэтае маецца ў клясычнай мэханіцы, дзе рух цела апісваецца ягоным становішчам і хуткасьцю, у той час як значэньне часу зьмяняецца. Законы Ньютана дазваляюць з улікам месцазнаходжаньня, хуткасьці, паскарэньня й розных сілаў, якія дзейнічаюць на цела, выказаць гэтыя зьмены дынамічна праз дыфэрэнцыйнае раўнаньне для невядомага становішча цела як функцыю часу. У некаторых выпадках, гэтае дыфэрэнцыйнае раўнаньне, гэтак званыя раўнаньні руху, могуць быць вырашаны ў відавочным выглядзе.

Прыкладам мадэляваньня праблемы рэальнага сьвету з дапамогай дыфэрэнцыйных раўнаньняў зьяўляецца вызначэньне хуткасьці падзеньня шара ў паветры, разглядаючы толькі гравітацыю й супраціў паветра. Паскарэньне шара да зямлі зьяўляецца паскарэньнем сілы цяжару за мінусам запаволеньня шара з-за супраціву паветра. Гравітацыя лічацца сталай велічынёй, а супраціў паветра можа быць змадэляваны як прапарцыйная велічыня да хуткасьці шара. Гэта азначае, што паскарэньне шара, якое зьяўляецца вытворным ад ягонай хуткасьці, залежыць ад хуткасьці, а хуткасьць залежыць ад часу. Знаходжаньне хуткасьці як функцыі часу ўключае ў сябе рашэньні дыфэрэнцыйных раўнаньняў.

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні першага парадкуРэдагаваць

Раўнаньне  , дзе   — невядомая функцыя, якая непарыўна дыфэрэнцуецца на адцінку  , называецца звычайным дыфэрэнцыйным раўнаньнем першага парадку.

Функцыя   называецца рашэньнем дыфэрэнцыйнага раўнаньня  , калі яна непарыўна дыфэрэнцуецца на   і      .

Раўнаньні першага парадку, вырашаныя адносна вытворнайРэдагаваць

Звычайнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку першай ступені, якое вырашанае адносна вытворнай можна прадставіць у выглядзе  .

ПрыкладРэдагаваць

 

Рашэньне гэтага раўнаньня:

 

 

Аднародныя раўнаньніРэдагаваць

Аднародныя дыфэрэнцыйныя раўнаньні — раўнаньні выгляду  . Таксама могуць быць запісаныя ў выглядзе  , дзе   і   зьяўляюцца аднароднымі функцыямі адной і той жа ступені.[1]

ПрыкладРэдагаваць

Для таго, каб рашыць аднароднае раўнаньне, можна зрабіць замену  .

 

 

 

 

Адкуль:

 

 

Паколькі  ,  . Таксама засталося рашэньне  , якое было згубленае пры дзяленьні на   (гл.  ).

Лінейныя раўнаньніРэдагаваць

Лінейнае дыфэрэнцыйнае раўнаньне першага парадку — раўнаньне, якое лінейнае адносна нейкай невядомай функцыі і яе вытворнай. Выгляд лінейнага раўнаньня:

 , дзе   і  лічацца непарыўнымі функцыямі ў вобласьці інтэграваньня раўнаньня[2].

Лінейныя аднародныя раўнаньніРэдагаваць

Калі  , то лінейнае раўнаньне аднароднае. Такія раўнаньні рашаюцца дзяленьнем зьменных:

 

 

Інтэгруем:  , дзе  

 , дзе  

Пры дзяленьні на   згубілася рашэньне  .

Лінейныя неаднародныя раўнаньніРэдагаваць

Для вырашэньня лінейных неаднародных раўнаньняў можа быць прыменены мэтад варыяцыі пастаяннай[3].

Раўнаньне БэрнуліРэдагаваць

Гл. Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Раўнаньне РыкаціРэдагаваць

Гл. Раўнаньне Рыкаці

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні парадку, вышэйшага за першыРэдагаваць

Дыфэрэнцыйныя раўнаньні n-га парадку маюць выгляд

 .

Калі раўнаньне вырашанае адносна самай высокай вытворнай, яно мае выгляд  .

Паніжэньне парадку дыфэрэнцыйнага раўнаньняРэдагаваць

Для вырашэньня дыфэрэнцыйнага раўнаньня n-га парадку неабходна панізіць гэты парадак. Гэта можна ажыцьцявіць шматлікімі спосабамі.

ПрыкладРэдагаваць

 

Падзелім раўнаньне на  :

 .

Адкуль  ,

 ,

 .

Парадак раўнаньня панізілі.

Лінейныя раўнаньні вышэйшых парадкаўРэдагаваць

Раўнаньне выгляду

 

называецца лінейным раўнаньнем n-га парадку.

Калі    , то раўнаньне называецца аднародным. Калі ж  , то раўнаньне называецца неаднародным[4].

Раўнаньні з пастаяннымі каэфіцыентаміРэдагаваць

Раўнаньне выгляду

 

з пастаяннымі рэчаіснымі каэфіцыентамі   мае фундамэнтальную сыстэму рашэньняў (ФСР)    .

Агульнае рашэньне, якое адпавядае ФСР:  , дзе   — вольныя пастаянныя.

Неаднароднае раўнаньне

 

можа быць праінтэграванае з дапамогай мэтаду варыяцыі вольных пастаянных[5][6].

КрыніцыРэдагаваць

  1. ^ Филиппов, Алексей Федорович. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Учеб. пособие для вузов / А. Ф. Филиппов. - 7-е изд., стер. - М. : Наука, 1992. - 127, [1] с. : ил. ; 20 см.
  2. ^ Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.
  3. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org
  4. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 132
  5. ^ Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Для вузов.— 6-е изд., испр. и доп.— Мн.: Выш. шк., 1987.— с. 136-138
  6. ^ Мэтад варыяцыі пастаяннай на PlanetMath.org

Вонкавыя спасылкіРэдагаваць

  Дыфэрэнцыйнае раўнаньнесховішча мультымэдыйных матэрыялаў