Трыганамэтрыя

Трыганамэ́трыя (ад грэц. τρίγονο — «трыкутнік» і μετρειν — «вымярэньне», літаральна — «вымярэньне трыкутнікаў») — разьдзел матэматыкі пра сустасункі бакоў і кутоў у трыкутніку. Асноўная задача трыганамэтрыі — «разьвязак трыкутніка», то бок вылічэньне невядомых велічыняў зь вядомых.

Трыганамэтрычныя вылічэньні шырока выкарыстоўваюцца ў геамэтрыі, фізыцы і інжынэрнай справе. Вялікае значэньне мае тэхніка трыянгуляцыі, якая дазваляе вымяраць адлегласьці да недалёкіх зораў у астраноміі, паміж арыенцірамі ў геаграфіі, кантраляваць сыстэмы навігацыі спадарожнікаў. Таксама варта адзначыць выкарыстаньне трыганамэтрыі ў такіх вобласьцях, як тэорыя музыкі, акустыка, оптыка, аналіз фінансавых рынкаў, электроніка, тэорыя імавернасьцяў, статыстыка, біялёгія, мэдыцына, фармацэўтыка, хімія, тэорыя лікаў, сэйсмалёгія, мэтэаралёгія, акіяналёгія, картаграфія, тапаграфія, геадэзія, архітэктура, фанэтыка, эканоміка, электронная тэхніка, машынабудаваньне, кампутарная графіка, крышталяграфія.

Гісторыя

Вытокі трыганамэтрыі бяруць пачатак у старажытным Эгіпце, Бабілёніі й даліне Інду больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ў прыкладаньні альгебры й трыганамэтрыі да астранамічных вылічэньняў. Лагадха — адзіны зь вядомых у наш час старажытных матэматыкаў, які выкарыстоўваў геамэтрыю й трыганамэтрыю ў сваёй кнізе «Дж’етыша-вэданга» («Jyotisa Vedanga»), бо́льшую частку працаў якога зьнішчылі замежныя захопнікі.

Грэцкі матэматык Кляўдыюс Пталямэй таксама зрабіў вялікі ўнёсак у разьвіцьцё трыганамэтрыі.

Выкарыстаньне

Трыганамэтрычныя вылічэньні выкарыстоўваюцца практычна ва ўсіх задачах геамэтрыі, фізыкі й інжынэрыі.

Вялікае значэньне мае тэхніка трыянгуляцыі, якая дазваляе вымяраць адлегласьці да недалёкіх зорак у астраноміі, паміж арыенцірамі ў геаграфіі, кантраляваць сыстэмы навігацыі спадарожнікаў. Таксама варта адзначыць ужываньне трыганамэтрыі ў такіх абласьцях, як тэхніка навігацыі, тэорыя музыкі, акустыка, оптыка, аналіз фінансавых рынкаў, электроніка, тэорыя імавернасьцяў, статыстыка, біялёгія, мэдыцына (уключаючы ультрагукавое дасьледаваньне (УГД) і кампутарную тамаграфію), фармацэўтыка, хімія, тэорыя лікаў (і, як сьледзтва, крыптаграфія), сэйсмалёгія, мэтэаралёгія, акіяналёгія, картаграфія, шматлікія разьдзелы фізыкі, тапаграфія й геадэзія, архітэктура, фанэтыка, эканоміка, электронная тэхніка, машынабудаваньне, кампутарная графіка, крышталяграфія.

Трыганамэтрычныя функцыі

Асноўны артыкул: Уласьцівасьці трыганамэтрычных функцыяў

Адзінкавая акружына

Возьмем адзінкавую акружыну на роўніцы (цэнтар у пачатку адліку, радыюс 1). Правядзем прамень $l$ з пачатка адліку й будзем адлічваць велічыню кута $\alpha$ ад дадатнага праменя восі $Ox$ супраць гадзіньнікавай стрэлкі. Велічыню можна лічыць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядваць у градусах. Няхай пунктам скрыжаваньня $l$ з адзінкавай акружынай будзе $M$. Тады паводле азначэньня:

• функцыя косынус $\cos(\alpha )$ будзе абсцысай $M$,
• функцыя сынус $\sin(\alpha )$ будзе ардынатай $M$
• функцыя тангенс $\operatorname {tg} (\alpha )$ будзе дзельлю ардынаты $M$ і яе абсцысы: $\operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}$
• функцыя катангенс $\operatorname {ctg} (\alpha )$ будзе дзельлю абсцысы $M$ і яе ардынаты: $\operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}$
• функцыя сэканс $\operatorname {sec} (\alpha )$ будзе дзельлю ${\frac {1}{\sin(\alpha )}}$
• функцыя касэканс $\operatorname {cosec} (\alpha )$ будзе дзельлю ${\frac {1}{\cos(\alpha )}}$

Графік функцыі y = sin(x)

Графік функцыі y = cos(x)

Функцыі $\sin(\alpha )$ і $cos(\alpha )$ вызначаныя на ўсём $\mathbb {R}$, абсяг значэньняў [-1,1] і пэрыяд $2\pi$. Функцыя $\operatorname {tg} (\alpha )$ ня вызначана на ${\pi *n}$, $n\in \mathbb {Z}$, а функцыя $\operatorname {ctg} (\alpha )$ ня вызначана на $\pi *n+\pi /2$, $n\in \mathbb {Z}$, і абедзьве маюць абсяг значэньняў $\mathbb {R}$ і пэрыяд $\pi$.

Адваротныя трыганамэтрычныя функцыі

Функцыя, адваротнай да

• $\sin(\alpha )$ завецца арксынус $\arcsin(\alpha )$
• $\cos(\alpha )$ завецца арккосынус $\arccos(\alpha )$
• $\operatorname {tg} (\alpha )$ завецца арктангенс $\operatorname {arctg} (\alpha )$
• $\operatorname {ctg} (\alpha )$ завецца агккатангенс $\operatorname {arcctg} (\alpha )$

Асноўныя трыганамэтрычныя тоеснасьці

Асноўны артыкул: Трыганамэтрычныя формулы

Асноўная трыганамэтрычная тоеснасьць $\sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1$.

Формула косынуса сумы: $\cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Формула косынуса рознасьці: $\cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )$

Формула сынуса сумы: $\sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )$

Формула сынуса рознасьці: $\sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )$

Трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай

y = sin(x) на камплекснай роўніцы

Разкладзем функцыі $\sin(x)$ і $\cos(x)$ у шэраг Тэйлара:

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}$

$\cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

— і вызначым трыганамэтрычныя функцыі камплекснай зьменнай $z$:

$\sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}$

$\cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}$

Большасьць уласьцівасьцяў гэтых функцыяў для рэчаіснай зьменнай распаўсюджваецца й на камплексную зьменную. Але на камплекснай роўніцы іх абсяг значэньняў — усё $\mathbb {C}$.

Глядзіце таксама

• Сфэрычная трыганамэтрыя
• Эліптычная трыганамэтрыя
• Гіпэрбалічная трыганамэтрыя

Літаратура

• Выгодский Я. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1966.
• Громов Ю. Ю., Земской Н. А., Иванова О. Г. и др. Тригонометрия. — Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. — 104 с ISBN 5-8265-0088-3.
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1984.

Вонкавыя спасылкі

• online-калькулятар Google