Раўнаньне

Раўна́ньне — роўнасьць выгляду $f(x,...)=g(x,...)$ або $f(x,...)=0$ , дзе $f$ ды $g$ — функцыі (у агульным выпадку — вэктарныя) аднога ці некалькі аргумэнтаў, а таксама задача па знаходжаньні такіх значэньняў аргумэнтаў, пры якіх дасягаецца гэтая роўнасьць. На магчымыя значэньні аргумэнтаў могуць быць накладзеныя дадатковыя ўмовы.

Першае друкарскае зьяўленьне знаку роўнасьці ў кнізе Робэрта Рэкарда ў 1557 годзе (запісана раўнаньне

14x+15=71

)

«Аргумэнты» (часам называюцца «зьменнымі») у выпадку раўнаньня называюць «невядомымі». Значэньні невядомых, пры якіх раўнаньне становіцца роўнасьцю — каранямі раўнаньня. Раўнаньне можа мець адзін, некалькі або бясконца шмат каранёў, а можа ня мець кораня наогул. Раўнаньне запісваецца ў выглядзе двух выразаў, злучаных знакам роўнасьці. Выразы з двух бакоў знаку роўнасьці называюцца левай часткай і правай часткай раўнаньня. Самы распаўсюджаны тыпам раўнаньня ёсьць альгебраічнае раўнаньне, у якім абедзьве часткі зьяўляюцца альгебраічнымі выразамі.

Часам матэматычная задача накладвае абмежаваньні на мноства, якому павінны належаць рашэньні раўнаньня, напрыклад, дыяфантавыя раўнаньні патрабуюць толькі цэлалікавага рашэньня. Існаваньне й колькасьць каранёў раўнаньня таксама могуць залежаць ад мноства: напрыклад, раўнаньне ня мае рэчаісных рашэньняў, але мае камплексныя рашэньні. Значэньні невядомых, пры якіх гэтая роўнасьць дасягаецца, называюцца разьвязкамі або каранямі дадзенага раўнаньня. Пра карані гавораць, што яны задавальняюць дадзенаму раўнаньню. Разьвязаць раўнаньне азначае знайсьці мноства ўсіх яго разьвязак (каранёў).

Раўнаньне можна лічыць аналягам шаляў, то бок, калі роўныя вагі чагосьці (напрыклад, збожжа) разьмяшчаюцца ў дзвюх місах, гэта прымушае шалю ўраўнаважвацца. У гэтым выпадку кажуць, што вагі ў двух місах ёсьць роўнымі. Калі колькасьць збожжа выдаляецца з адной місы, то роўная колькасьць збожжа павінна быць выдалена з другой, каб захаваць балянс. То бок, каб захаваць раўнаньне ў раўнавазе, аднолькавыя апэрацыі складаньня, адыманьня, множаньня і дзяленьня павінны быць выкананы з абодвух бакоў раўнаньня, каб яно заставалася слушным.

У геамэтрыі раўнаньня выкарыстоўваюцца для апісаньня геамэтрычных фігураў. Паколькі разгляданыя раўнаньні, як то няяўныя раўнаньні або парамэтрычныя раўнаньні, маюць бясконца шмат рашэньняў, задача цяпер іншая: замест таго, каб даваць дакладныя вырашэньні альбо разьвязваць іх, што немагчыма, для вывучэньня ўласьцівасьцяў фігур выкарыстоўваюць раўнаньні. Гэта зыходнаяя ідэя альгебраічнай геамэтрыі, важнае вобласьці матэматыкі.

Прыклады раўнаньняў

$x=1$
$1/x=1/x$

Глядзіце таксама

Вонкавыя спасылкі

EqWorld зьмяшчае інфармацыю аб рашэньнях розных клясаў матэматычных раўнаньняў. (анг.)
EquationSolver. Вэб-старонка, якая можа вырашыць раўнаньні і сыстэмы лінейных альгебраічных раўнаньняў. (анг.)