Дыфэрэнцыйнае раўнаньне Бэрнулі

Дыфэрэнцы́йнае раўна́ньне Бэрну́лі — лінейнае раўнаньне выгляду $y'+a(x)y=b(x)y^{n}$. Калі $n\neq 0,\,1$, то раўнаньне называецца дыфэрэнцыйным раўнаньнем Бэрнулі ў агульным выглядзе. Раўнаньне апублікаваў Якаб Бэрнулі ў 1695 годзе.

Мэтад рашэньня

Асноўны мэтад рашэньня раўнаньня Бэрнулі наступны:

$y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n$

Падзелім усе члены раўнаньня на

   $y^{n}\!$,

атрымаем

   ${\frac {dy}{dx}}\!y^{-n}+a(x)y^{-n+1}=b(x)$.

Увядзём замену

   $z=y^{-n+1}\!$.

Дыфэрэнцуем

   ${\frac {dz}{dx}}=(-n+1)y^{-n}{\frac {dy}{dx}}$.

Раўнаньне прыведзенае да лінейнага

   ${\frac {dz}{dx}}+(-n+1)a(x)z=(-n+1)b(x)$.

Гэтае раўнаньне можа быць вырашанае мэтадам варыяцыі пастаяннай ці мэтадам інтэгруючага множніка.

Вонкавыя спасылкі

• Раўнаньне Бэрнулі на planetmath.org
• Мэтад варыяцыі пастаяннай на planetmath.org