Тэарэма Гершгорына

Тэарэ́ма Гершго́рына — тэарэма, якая дазваляе накласьці абмежаваньні на ўласныя лікі матрыцы з рэчаіснымі або камплекснымі каэфіцыентамі. Упершыню была апублікаваная ў 1931 року матэматыкам беларускага паходжаньня Сямёнам Гершгорынам.

Фармулёўка і доказ

Няхай $A$ — камплексная квадратная матрыца памерам $n\times n$ з элемэнтамі ($a_{ij}\,$). Для $i\in \{1,\dots ,n\}$ няхай $R_{i}=\sum _{j\neq {i}}\left|a_{ij}\right|$, дзе $\left|a_{ij}\right|$ — модуль ліку $a_{ij}$. Няхай $D(a_{ii},R_{i})$ ёсьць замкнёным колам з цэнтрам у $a_{ii}$ і радыюсам $R_{i}$. Такія колы называюцца коламі Гершгорына.

Тэарэма: кожны ўласны лік матрыцы $A$ ляжыць у межах прынамсі аднаго з Гершгорынавых колаў $D(a_{ii},R_{i})$.

Доказ: Няхай $\lambda$ — уласны лік $A$, а x = (x_j) — адпаведны яму ўласны вэктар. Няхай i ∈ {1, … n} будзе такое, што |x_i| = max_j |x_j|. Тады |x_i| > 0, бо ў адваротным выпадку x = 0, чаго ня можа быць з уласнымі вэктарамі (яны не нулявыя). З раўнаньня для ўласных значэньняў матрыцы маем $Ax=\lambda x$, адсюль:

$\sum _{j}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}\quad \forall i\in \{1,\ldots ,n\}.$

Адымаючы з абодвух бакоў $a_{ii}x_{i}$, атрымліваем:

$\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}-a_{ii}x_{i}.$

І дзелім абодва бакі на $x_{i}$ (выбіраючы i як вышэй, упэўніваемся, што $x_{i}\neq 0$), а таксама бярэм модулі:

$|\lambda -a_{ii}|=\left|{\frac {\sum _{j\neq i}a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}\left|{\frac {a_{ij}x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|=R_{i}$

Тут апошняя няроўнасьць правільная, таму што

$\left|{\frac {x_{j}}{x_{i}}}\right|\leq 1\quad {\text{for }}j\neq i.$

Выснова: Паколькі ўласныя значэньні матрыцы A^T такія самыя, як матрыцы A, гэтае сьцьверджаньне можна ўзмацніць — усе ўласныя значэньні матрыцы A мусяць ляжаць на скрыжаваньні сумы колаў Гершгорына матрыцы A і сумы колаў для матрыцы A^T.

Прыклад: для дыяганальнай матрыцы маем, што ўласныя значэньні мусяць быць роўныя элемэнтам, якія ляжаць на галоўнай дыяганалі.

Літаратура

• S. Gerschgorin. Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. — 1931. — № 6. — С. 749—754.
• R. S. Varga. Errata // Geršgorin and His Circles. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — ISBN 3-540-21100-4

Вонкавыя спасылкі

• Planet Math  (анг.)
• Wolfram MathWorld  (анг.)