Тэарэма Гершгорына

Тэарэ́ма Гершго́рына — тэарэма, якая дазваляе накласьці абмежаваньні на ўласныя лікі матрыцы з рэчаіснымі або камплекснымі каэфіцыентамі. Упершыню была апублікаваная ў 1931 року матэматыкам беларускага паходжаньня Сямёнам Гершгорынам.

Фармулёўка і доказРэдагаваць

Няхай   — камплексная квадратная матрыца памерам   з элемэнтамі ( ). Для   няхай  , дзе   — модуль ліку  . Няхай   ёсьць замкнёным колам з цэнтрам у   і радыюсам  . Такія колы называюцца коламі Гершгорына.

Тэарэма: кожны ўласны лік матрыцы   ляжыць у межах прынамсі аднаго з Гершгорынавых колаў  .

Доказ: Няхай   — уласны лік  , а x = (xj) — адпаведны яму ўласны вэктар. Няхай i ∈ {1, … n} будзе такое, што |xi| = maxj |xj|. Тады |xi| > 0, бо ў адваротным выпадку x = 0, чаго ня можа быць з уласнымі вэктарамі (яны не нулявыя). З раўнаньня для ўласных значэньняў матрыцы маем  , адсюль:

 

Адымаючы з абодвух бакоў  , атрымліваем:

 

І дзелім абодва бакі на   (выбіраючы i як вышэй, упэўніваемся, што  ), а таксама бярэм модулі:

 

Тут апошняя няроўнасьць правільная, таму што

 

Выснова: Паколькі ўласныя значэньні матрыцы AT такія самыя, як матрыцы A, гэтае сьцьверджаньне можна ўзмацніць — усе ўласныя значэньні матрыцы A мусяць ляжаць на скрыжаваньні сумы колаў Гершгорына матрыцы A і сумы колаў для матрыцы AT.

Прыклад: для дыяганальнай матрыцы маем, што ўласныя значэньні мусяць быць роўныя элемэнтам, якія ляжаць на галоўнай дыяганалі.

ЛітаратураРэдагаваць

  • S. Gerschgorin. Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix // Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. — 1931. — № 6. — С. 749—754.
  • R. S. Varga. Errata // Geršgorin and His Circles. — Berlin: Springer-Verlag, 2004. — ISBN 3-540-21100-4

Вонкавыя спасылкіРэдагаваць