Сыстэма каардынат

Дэкартава сыстэма каардынат на роўніцы

Сыстэма каардынат (слова каардынат паходзіць ад лац.: co + ordinatus, сумесна падпарадкаваны) — комплекс вызначэньняў, які ажыцьцяўляе мэтад каардынат, то бок спосаб вызначаць палажэньне пункту або цела з дапамогай лічбаў або іншых сымбаляў. Сукупнасьць лічбаў, якія вызначаюць палажэньне канкрэтнага пункту, называецца каардынатамі гэтага пункту.

  • у матэматыцы каардынаты — сукупнасьць лічбаў, супастаўленых пунктам мнагастайнасьці ў мапе пэўнага атлясу.
  • у элемэнтарнай геамэтрыі каардынаты — велічыні, якія вызначаюць палажэньне пункту на роўніцы і ў прасторы. На роўніцы палажэньне пункту часьцей за ўсё вызначаецца адлегласьцю ад дзьвюх прамых (каардынаты восяў), якія перасякаюцца ў адным пункце (пачатку каардынат) пад простым вуглом; адна з каардынат называецца ардынатай, іншая — абсцысай. У прасторы паводле сыстэмы Дэкарта палажэньне пункту вызначаецца адлегласьцямі ад трох роўніцаў каардынат, якія перасякаюцца ў адным пункце пад простымі вугламі адзін да аднаго, альбо сфэрычнымі каардынатамі, дзе пачатак каардынат знаходзіцца ў цэнтры сфэры.
Сфэрычныя каардынаты
  • Нябесныя каардынаты — лічбы, з дапамогай якіх вызначаюць палажэньне сьвяцілаў і дапаможных пунктаў на нябеснай сфэры. У астраноміі выкарыстоўваюцца розныя сыстэмы нябесных каардынат. Кожная зь іх па сутнасьці ўяўляе сабой сыстэму палярных каардынат на сфэры з адпаведным чынам абраным полюсам. Сыстэму нябесных каардынат задаюць вялікім кругам нябеснае сфэры (альбо яго полюсам, які ляжыць за 90° ад любога пункту гэтага круга) з указаньнем на ім пачатковага пункту адліку адной з каардынат. У залежнасьці ад выбару гэтага круга сыстэмы нябесных каардынат называлася гарызантальнай, экватарыяльнай, экліптычнай і галяктычнай.

Найбольш выкарыстоўвальная сыстэма каардынат — простакутная сыстэма каардынат (таксама вядомая як дэкартава сыстэма каардынат).

Каардынаты на роўніцы і ў прасторы можна ўводзіць бясконцай колькасьцю розных спосабаў. Разьвязваючы тую ці іншую матэматычную альбо фізычную задачу мэтадам каардынат, можна выкарыстоўваць розныя каардынатныя сыстэмы, абіраючы тую зь іх, у якой задача разьвязваецца прасьцей альбо зручней у дадзеным канкрэтным выпадку. Вядомым абагульненьнем сыстэмы каарданыт зьяўляюцца сыстэмы адліку і сыстэмы рэфэрэнцыі.

Асноўныя сыстэмыРэдагаваць

Дэкартавая сыстэмаРэдагаваць

Самай распаўсюджанай сыстэмай каардынатаў у матэматыцы ёсьць дэкартавая сыстэма каардынатаў, названая гэтак у гонар Рэнэ Дэкарта. Дэкартавая сыстэма каардынатаў задаецца пачаткам каардынатаў і трыма вэктарамі, якія вызначаюць кірунак каардынатных восяў. Кожны пункт прасторы задаецца лікамі, якія роўныя адлегласьці ад дадзенага пункту да каардынатных плоскасьцяў.

Каардынаты дэкартавай сыстэмы на графіку прынята пазначаць  , у прасторы  .

Розныя дэкартавыя сыстэмы каардынатаў зьвязаныя адзін з адным афіннымі пераўтварэньнямі, то бо зрушэньнем і паваротамі.

Палярная сыстэмаРэдагаваць

 
Палярныя каардынаты

Прыкладам крывалінейнай сыстэмы каардынатаў на плоскасьці зьяўляецца палярная сыстэма каардынатаў, у якой становішча пункту задаецца двума лікамі: адлегласьцю   паміж пунктам і пачаткам каардынатаў, і кутом   паміж промнем, які злучае пачатак каардынатаў з пунктам і абранай восьсю. Пункты дэкартавых і палярных каардынатаў зьвязаныя паміж сабой формуламі:

 ,
 ,

Некаторыя раўнаньні ў палярнай сыстэме каардынатаў маюць просты выгляд, як то канічныя перасекі, сьпіралі, кардыёда і г. д. Палярную сыстэму каардынатаў можна абагульніць на выпадак n-мернай прасторы. Выпадак n = 2 (на плоскасьці) адпавядае звычайнай палярнай сыстэме каардынатаў, а n = 3 — сфэрычнай сыстэме каардынатаў.

У прасторы прымяняюцца абагульненьня палярных каардынатаў, то бок цыліндрычныя і сфэрычныя сыстэмы каардынатаў.

Цыліндрычная сыстэмаРэдагаваць

Цыліндрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў, у якім пункт   уяўляецца ўпарадкаванай тройкай  . У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

  •   (радыюс) — адлегласьць ад восі   да пункту  ,
  •   (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») часткай восі   і адрэзкам, праведзеным ад полюсу да пункту   і спраектаваным на плоскасьць  .
  •   (вышыня) роўная дэкартавай  -каардынаце пункту  .

Палярныя каардынаты маюць адзіны недахоп, то бок значэньне   не вызначана пры  .

Цыліндрычныя каардынаты карысныя для вывучэньня сыстэмаў, які зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна некаторай восі. Напрыклад, падоўжаны цыліндар з радыюсам   у дэкартавых каардынатах (з восьсю  , якая супадае з восьсю цыліндру) мае раўнаньне   тады як у цыліндрычных каардынатах яно выглядае значна прасьцей, як то  .

Сфэрычная сыстэмаРэдагаваць

Сфэрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў. У сфэрычнай сыстэме каардынатаў разьмяшчэньне пункту   вызначаецца трыма кампанэнтамі:  . У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

  •   (радыюс) — адлегласьць ад пункту   да полюсу,
  •   (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю   і праекцыяй адрэзка, праведзенага з полюсу да пункту  , на плоскасьць  .
  •   (шырата або палярны кут) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю   і адрэзкам, праведзенага з полюсу да пункту  .

Сфэрычная сыстэма каардынатаў таксама мае недахоп:   і   ня вызначаныя, калі  ; кут   не вызначаны таксама і для межавых значэньняў   і   (або для  , у выпадку прыняцьця адпаведнага дыяпазону для гэтага кута).

Для пабудовы пункту   па ягоных сфэрычных каардынатах трэба ад полюса ўздоўж дадатнай паўвосі   адкласьці адрэзак, роўны  , павярнуць яго на кут   вакол восі   у напрамку дадатнай паўвосі  , і затым павярнуць на кут   вакол восі   у напрамку дадатнай паўвосі  .

Сфэрычныя каардынаты карысныя пры вывучэньні сыстэм, якія зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна пункту. Гэтак раўнаньне сфэры з радыюсам   у дэкартавых каардынатах з пачаткам адліку ў цэнтры сфэры выглядае як   тады як у сфэрычных каардынатах яно становіцца нашмат прасьцейным, як то  .

Вонкавыя спасылкіРэдагаваць