Сыстэма каардынат

Сыстэма каардынат (слова каардынат паходзіць ад лац.: co + ordinatus, сумесна падпарадкаваны) — комплекс вызначэньняў, які ажыцьцяўляе мэтад каардынат, то бок спосаб вызначаць палажэньне пункту або цела з дапамогай лічбаў або іншых сымбаляў. Сукупнасьць лічбаў, якія вызначаюць палажэньне канкрэтнага пункту, называецца каардынатамі гэтага пункту.

• у матэматыцы каардынаты — сукупнасьць лічбаў, супастаўленых пунктам мнагастайнасьці ў мапе пэўнага атлясу.

Дэкартава сыстэма каардынат на роўніцы

• у элемэнтарнай геамэтрыі каардынаты — велічыні, якія вызначаюць палажэньне пункту на роўніцы і ў прасторы. На роўніцы палажэньне пункту часьцей за ўсё вызначаецца адлегласьцю ад дзьвюх прамых (каардынаты восяў), якія перасякаюцца ў адным пункце (пачатку каардынат) пад простым вуглом; адна з каардынат называецца ардынатай, іншая — абсцысай. У прасторы паводле сыстэмы Дэкарта палажэньне пункту вызначаецца адлегласьцямі ад трох роўніцаў каардынат, якія перасякаюцца ў адным пункце пад простымі вугламі адзін да аднаго, альбо сфэрычнымі каардынатамі, дзе пачатак каардынат знаходзіцца ў цэнтры сфэры.

Сфэрычныя каардынаты

• у геаграфіі каардынаты — шырата, даўгата і вышыня над вядомым агульным узроўнем (напрыклад, акіяну). Гл. геаграфічныя каардынаты.

• у астраноміі каардынаты — велічыні, з дапамогай якіх вызначаецца палажэньне зоркі, напрыклад, простае ўзьняцьцё і схіленьне.

• Нябесныя каардынаты — лічбы, з дапамогай якіх вызначаюць палажэньне сьвяцілаў і дапаможных пунктаў на нябеснай сфэры. У астраноміі выкарыстоўваюцца розныя сыстэмы нябесных каардынат. Кожная зь іх па сутнасьці ўяўляе сабой сыстэму палярных каардынат на сфэры з адпаведным чынам абраным полюсам. Сыстэму нябесных каардынат задаюць вялікім кругам нябеснае сфэры (альбо яго полюсам, які ляжыць за 90° ад любога пункту гэтага круга) з указаньнем на ім пачатковага пункту адліку адной з каардынат. У залежнасьці ад выбару гэтага круга сыстэмы нябесных каардынат называлася гарызантальнай, экватарыяльнай, экліптычнай і галяктычнай.

Найбольш выкарыстоўвальная сыстэма каардынат — простакутная сыстэма каардынат (таксама вядомая як дэкартава сыстэма каардынат).

Каардынаты на роўніцы і ў прасторы можна ўводзіць бясконцай колькасьцю розных спосабаў. Разьвязваючы тую ці іншую матэматычную альбо фізычную задачу мэтадам каардынат, можна выкарыстоўваць розныя каардынатныя сыстэмы, абіраючы тую зь іх, у якой задача разьвязваецца прасьцей альбо зручней у дадзеным канкрэтным выпадку. Вядомым абагульненьнем сыстэмы каарданыт зьяўляюцца сыстэмы адліку і сыстэмы рэфэрэнцыі.

Асноўныя сыстэмы

Дэкартавая сыстэма

Самай распаўсюджанай сыстэмай каардынатаў у матэматыцы ёсьць дэкартавая сыстэма каардынатаў, названая гэтак у гонар Рэнэ Дэкарта. Дэкартавая сыстэма каардынатаў задаецца пачаткам каардынатаў і трыма вэктарамі, якія вызначаюць кірунак каардынатных восяў. Кожны пункт прасторы задаецца лікамі, якія роўныя адлегласьці ад дадзенага пункту да каардынатных плоскасьцяў.

Каардынаты дэкартавай сыстэмы на графіку прынята пазначаць $(x,y)$, у прасторы $(x,y,z)$.

Розныя дэкартавыя сыстэмы каардынатаў зьвязаныя адзін з адным афіннымі пераўтварэньнямі, то бо зрушэньнем і паваротамі.

Палярная сыстэма

Палярныя каардынаты

Прыкладам крывалінейнай сыстэмы каардынатаў на плоскасьці зьяўляецца палярная сыстэма каардынатаў, у якой становішча пункту задаецца двума лікамі: адлегласьцю $\rho$ паміж пунктам і пачаткам каардынатаў, і кутом $\varphi$ паміж промнем, які злучае пачатак каардынатаў з пунктам і абранай восьсю. Пункты дэкартавых і палярных каардынатаў зьвязаныя паміж сабой формуламі:

$x=\rho \cos \varphi$,

$y=\rho \sin \varphi$,

Некаторыя раўнаньні ў палярнай сыстэме каардынатаў маюць просты выгляд, як то канічныя перасекі, сьпіралі, кардыёда і г. д. Палярную сыстэму каардынатаў можна абагульніць на выпадак n-мернай прасторы. Выпадак n = 2 (на плоскасьці) адпавядае звычайнай палярнай сыстэме каардынатаў, а n = 3 — сфэрычнай сыстэме каардынатаў.

У прасторы прымяняюцца абагульненьня палярных каардынатаў, то бок цыліндрычныя і сфэрычныя сыстэмы каардынатаў.

Цыліндрычная сыстэма

Цыліндрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў, у якім пункт $P$ уяўляецца ўпарадкаванай тройкай $(r,\varphi ,z)$. У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

• $0\leqslant {r}$ (радыюс) — адлегласьць ад восі $z$ да пункту $P$,
• $0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») часткай восі $x$ і адрэзкам, праведзеным ад полюсу да пункту $P$ і спраектаваным на плоскасьць $xy$.
• $z$ (вышыня) роўная дэкартавай $z$-каардынаце пункту $P$.

Палярныя каардынаты маюць адзіны недахоп, то бок значэньне $\varphi$ не вызначана пры $r=0$.

Цыліндрычныя каардынаты карысныя для вывучэньня сыстэмаў, які зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна некаторай восі. Напрыклад, падоўжаны цыліндар з радыюсам $R$ у дэкартавых каардынатах (з восьсю $z$, якая супадае з восьсю цыліндру) мае раўнаньне $x^{2}+y^{2}=R^{2},$ тады як у цыліндрычных каардынатах яно выглядае значна прасьцей, як то $r=R$.

Сфэрычная сыстэма

Сфэрычныя каардынаты зьяўляюцца трохмерным аналягам палярных каардынатаў. У сфэрычнай сыстэме каардынатаў разьмяшчэньне пункту $P$ вызначаецца трыма кампанэнтамі: $\rho ,\varphi ,\theta$. У тэрмінах дэкартавай сыстэмы каардынатаў,

• $0\leqslant \rho$ (радыюс) — адлегласьць ад пункту $P$ да полюсу,
• $0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (азымут ці даўгата) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю $x$ і праекцыяй адрэзка, праведзенага з полюсу да пункту $P$, на плоскасьць $xy$.
• $0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (шырата або палярны кут) — кут паміж дадатнай («плюсавай») паўвосьсю $z$ і адрэзкам, праведзенага з полюсу да пункту $P$.

Сфэрычная сыстэма каардынатаў таксама мае недахоп: $\varphi$ і $\theta$ ня вызначаныя, калі $\rho =0$; кут $\varphi$ не вызначаны таксама і для межавых значэньняў $\theta =0$ і $\theta =180^{\circ }$ (або для $\theta =\pm 90^{\circ }$, у выпадку прыняцьця адпаведнага дыяпазону для гэтага кута).

Для пабудовы пункту $P$ па ягоных сфэрычных каардынатах трэба ад полюса ўздоўж дадатнай паўвосі $z$ адкласьці адрэзак, роўны $\rho$, павярнуць яго на кут $\theta$ вакол восі $y$ у напрамку дадатнай паўвосі $x$, і затым павярнуць на кут $\theta$ вакол восі $z$ у напрамку дадатнай паўвосі $y$.

Сфэрычныя каардынаты карысныя пры вывучэньні сыстэм, якія зьяўляюцца сымэтрычнымі адносна пункту. Гэтак раўнаньне сфэры з радыюсам $R$ у дэкартавых каардынатах з пачаткам адліку ў цэнтры сфэры выглядае як $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ тады як у сфэрычных каардынатах яно становіцца нашмат прасьцейным, як то $r=R$.

Вонкавыя спасылкі

• Шасьцігранныя сыстэмы каардынатаў.