Лінейная альгебра

Ліне́йная а́льгебра — разьдзел альгебры, які вывучае вэктары, вэктарныя (лінейныя) прасторы (пераважна з канечнай або падлікова-бясконцай колькасьцю вымярэньняў), лінейныя адлюстраваньні паміж такімі прасторамі, а таксама сыстэмы лінейных раўнаньняў. Падобныя раўнаньні лёгка выражаюцца сродкамі матрыц і вэктараў.

Трохвымерная эўклідавая прастора R³ ёсьць вэктарнай (лінейнай) прасторай, а простыя і роўніцы, што праходзяць праз пачатак каардынат, зьяўляюцца вэктарнымі падпрасторамі R³. Калі выразіць гэтую сыстэму ў лінейнай сыстэме раўнаньняў, то пункт перасеку будзе рашэньнем гэтага раўнаньня.

Вэктарныя прасторы сустракаюцца ў матэматыцы і яе прыкладаньнях паўсюдна. Лінейная альгебра шырока тарнуецца ў абстрактнай альгебры і функцыянальным аналізе, а таксама знаходзіць шмат месцаў для ўжываньня ў прыродазнаўчых навуках. Лінейная альгебра займае цэнтральнае месца амаль ва ўсіх галінах матэматыкі. Напрыклад, лінейная альгебра мае асноватворнае значэньне ў сучасных геамэтрычных выкладах, у тым ліку для вызначэньня асноўных аб’ектаў, як то лініі і роўніцы. Таксама функцыянальны аналіз у асноўным можа разглядацца як прыкладаньне лінейнай альгебры да прасторы функцыяў. Лінейная альгебра таксама выкарыстоўваецца ў большасьці навуковых і інжынэрных абласьцёх, таму што дазваляе мадэляваць мноства прыродных зьяваў і эфэктыўна разьвязаць такія мадэлі. Для нелінейных сыстэмаў, якія ня могуць быць змадэляваны лінейнай альгебрай, лінейная альгебра часта выкарыстоўваецца ў якасьці набліжэньня першага парадку.

Асноўныя тэрміны

Вэктар

Асноўны артыкул: Вэктар

Вэктар у лінейнай альгебры ёсьць абагульненьнем геамэтрычнага трохмернага вэктару, які выкарыстоўваецца ў геамэтрыі і мэханіцы. У разуменьні лінейнае альгебры вэктар ёсьць індэксаваным наборам лікаў альбо іншых матэматычных аб’ектаў $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, які мае ўласьцівасьць, якую можна памножыць на лік, напрыклад, $\lambda$,, і вынікам гэтага прадукту стане новы вэктар $(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n})$. Таксама можна дадаць вэктары, і сума двух вэктараў будзе вэктарам, у якім кожны індэкс будзе адпавядаць суме адпаведных кампанэнтаў вэктараў складаньня. Вэктары абазначаюцца стрэлкамі, якія паказваюць напрамак ад пачатку вэктара да ягонага канца. Вэктары з пачаткам ў пэўным пункце прасторы можна памнажаць і дадаваць паводле правіла паралелаграму.

Вэктарная прастора

Да XIX стагодзьдзя лінейная альгебра выводзілася праз сыстэмы лінейных раўнаньняў і матрыцаў. У сучаснай матэматыцы прэзэнтацыя праз вэктарныя прасторы звычайна больш пераважная, бо яна больш сынтэтычная, больш агульная, а не абмяжоўваецца канечна-прасторавым выпадкам, і канцэптуальна больш простая, хоць і больш абстрактная.

Вэктарнай або лінейнай прасторай называюць сукупнасьць вэктараў, да якіх належаць вэктары зь любым магчымым значэньнем кампанэнту, гэта значыць сукупнасьць усіх вэктараў зададзенага характару. Акрамя таго, вэктарная прастора вызначае апэрацыі даданьня вэктараў і памнажэньня на скалярны лік, для таго, каб набор вэктараў складаў вэктарную прастору, на яго павінен дзейнічаць шэраг аксіёмаў, як то камутатыўнасьць, асацыятыўнасьць, дыстрыбутыўнасьць складаньня і памнажэньня на скаляр, існаваньня нелявога і процілеглага элемэнту.

Лічба n, якая вызначае колькасьць элемэнтаў вэктару, называецца вымярэньнем вэктарнай прасторы. Лінейная альгебра вывучае вэктарныя прасторы канечнага вымярэньня. Вэктары зь бясконцай колькасьцю кампанэнтаў вывучаюцца іншымі разьдзеламі матэматыкі, уключаючы функцыянальны аналіз.

Літаратура

• Сухая, Т. А. Лінейная алгебра : Метадычны дапаможнік для студэнтаў інжынерна-тэхнічных спецыяльнасцяў / Беларуская дзяржаўная політэхнічная акадэмія, Таварыства беларускай мовы імя Ф. Скарыны, Кафедра вышэйшай матэматыкі №3. — Мн.: 1993. — 34 с. — 300 ас.

Вонкавыя спасылкі

• Афіцыйны сайт. Міжнароднае таварыства лінейнае альгебры (анг.).
• Базавы курс лінейнае альгебры. (анг.)
• Лінейная альгебра. (анг.)