Эўклідава геамэтрыя
Эўклі́дава геамэ́трыя або элемэнтарная геамэтрыя — геамэтрычная тэорыя, заснаваная на сыстэме аксіёмаў, упершыню выкладзенай у «Пачатках» Эўкліда (III стагодзьдзе да н. э.).
Асноўныя зьвесткі
рэдагавацьЭлемэнтарная геамэтрыя — геамэтрыя, вызначаная галоўным чынам групай перамяшчэньняў (ізамэтрыяў) і групай падабенства. Аднак зьмест элемэнтарнай геамэтрыі не вычэрпваецца паказанымі пераўтварэньнямі. Прыкладам, да элемэнтарнай геамэтрыі таксама далучаюць пераўтварэньне інвэрсіі, пытаньні сфэрычнай геамэтрыі, элемэнты геамэтрычных пабудоваў (канструкцыйная геамэтрыя), тэорыю вымярэньня геамэтрычных велічынь і іншыя пытаньні.
Элемэнтарную геамэтрыю часта завуць эўклідавай геамэтрыяй, бо першапачатковы й сыстэматычны яе выклад, хоць і ня досыць строгае было ў Пачатках Эўкліда. Першая строгая аксіяматыка элемэтарной геамэтрыі была дадзена Гільбэртам. Элемэнтарная геамэтрыя вывучаецца ў сярэдняй агульнаадукацыйнай школе.
Аксіяматыка
рэдагавацьПраблема поўнай аксияматызацыі элемэнтарнай геамэтрыі — адна з праблемаў геамэтрыі, якая ўзьнікла ў Старажытнай Грэцыі у сувязі з крытыкай гэтай першай спробы пабудаваць поўную сыстэму аксіёмаў гэтак, каб усе сьцьвярджэньні эўклідавай геамэтрыі вынікалі з гэтых аксіёмаў цягам чыста лягічнай высновай без навочнасьці рысункаў.
У «Пачатках» Эўкліда была дадзена наступная аксіяматыка:
- Ад усякага пункту да ўсякага пункту можна правесьці простую лінію.
- Абмежаваную простую лінію можна бесьперапынна працягваць па простай.
- З усякага цэнтру ўсякім растворам можа быць акрэсьлены круг.
- Усе простыя куты роўныя паміж сабой.
- Калі простая лінія, якая перасякае дзьве простыя лініі, утворыць нутраныя аднабаковыя куты, меншыя за два простыя, то, працягнутыя неабмежавана, гэтыя дзьве протыя лініі сустрэнуцца з таго боку, дзе куты менш за два простыя.
Дасьледаваньне сыстэмы аксіёмаў Эўкліда ў другой палове XIX стагодзьдзя паказала яе няпоўнасьць.
У 1899 року Д. Гільберт прапанаваў першую досыць строгую аксіяматыку эўклідавай геамэтрыі. Спробы паляпшэньня эўклідавай аксіяматыкі прадпрымаліся да Гільбэрта Пашам, Шурам, Пеана, Вэранэзэ, аднак падыход Гільбэрта, пры ўсёй яго кансэрватыўнасьці ў выбары паняцьцяў, здабыў большы посьпех.
Існуюць і іншыя сучасныя аксіяматыкі, найбольш вядомыя:
- аксіяматыка Тарскага
- аксіяматыка Біргофа, якая ўтрымлівае ўсяго 4 аксіёмы, але выкарыстоўвае рэчаісныя лікі як гатовае паняцьце.
Літаратура
рэдагаваць- Д. Гільбэрт Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923—152 с.
- Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
- Математический энциклопедический словарь, — М.: «Советская энциклопедия», 1988.