Правіла Сымпсана — правіла, якое выкарыстоўваецца пры лікавым інтэграваньні (лікавым прыбліжэньні вызначаных інтэгралаў). Мае наступны формульны выгляд:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
b
−
a
6
[
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
b
2
)
+
f
(
b
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}
Мэтад атрымаў згаданую назву ў гонар выбітнага шатляндзкага матэма́тыка Томаса Сымпсана (1710 —1761 ).
Для ацэнкі хібнасьці мэтаду выкарыстоўваецца наступная формула:
E
(
f
)
=
1
90
(
b
−
a
2
)
5
|
f
(
4
)
(
ξ
)
|
{\displaystyle E(f)={\tfrac {1}{90}}\left({\tfrac {b-a}{2}}\right)^{5}\left|f^{(4)}(\xi )\right|}
дзе
ξ
{\displaystyle \xi }
лік паміж
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
Няхай адцінак [a, b] падзяляецца на n частак. Тады формулу Сымпсана можна запісаць ў выглядзе:
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
h
3
[
f
(
x
0
)
+
4
f
(
x
1
)
+
2
f
(
x
2
)
+
4
f
(
x
3
)
+
2
f
(
x
4
)
+
⋯
+
4
f
(
x
n
−
1
)
+
f
(
x
n
)
]
=
h
3
∑
j
=
1
n
/
2
[
f
(
x
2
j
−
2
)
+
4
f
(
x
2
j
−
1
)
+
f
(
x
2
j
)
]
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}={\tfrac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\bigg ]}}
Хібнасьць ацэньваецца наступным чынам:
h
4
180
(
b
−
a
)
max
ξ
∈
[
a
,
b
]
|
f
(
4
)
(
ξ
)
|
{\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}|f^{(4)}(\xi )|}
дзе
h
=
(
b
−
a
)
n
{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}}}
[ 1]
^ Atkinson, pp. 257+258; Süli and Mayers, §7.5
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\tfrac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7be5c46367fbdf7fd6d9c3f3440849b111065585)
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\tfrac {h}{3}}{\bigg [}f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_{n}){\bigg ]}={\tfrac {h}{3}}\sum _{j=1}^{n/2}{\bigg [}f(x_{2j-2})+4f(x_{2j-1})+f(x_{2j}){\bigg ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa72e08b22a203e7dbc4e5645c993846cbb3333)
![{\displaystyle {\tfrac {h^{4}}{180}}(b-a)\max _{\xi \in [a,b]}|f^{(4)}(\xi )|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad72cac10b03f50429123785286f9061bc447979)
