Тэарэма Менелая

Тэарэма Мэнэлая — гэта клясычная тэарэма афіннай геамэтрыі.

Тэарэма Мэнэлая

Тэарэма Мэнэлая

Калі пункты $D,E$ і $F$ ляжаць адпаведна на прамых $BC,CA$ і $AB$ трохкутніка $\triangle ABC$, то яны калінэарныя, тады і только тады калі

${\frac {AE}{EC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}\cdot {\frac {BF}{FA}}=-1.$

Тут ${\frac {AE}{EC}}$, ${\frac {CD}{DB}}$ і ${\frac {BF}{FA}}$ азначаюць адносіны накіраваных адрэзкаў. У прыватнасьці, з тэарэмы вынікаюць суадносіны для даўжынь:

${\frac {|AE|}{|EC|}}\cdot {\frac {|CD|}{|DB|}}\cdot {\frac {|BF|}{|FA|}}=1.$

Гісторыя

Падобны вынік у сфэрычнай геамэтрыі сустракаецца ў трактаце «Sphaerica» Мэнэлая Александрыйскага (прыблізна 100-ы год нашай эры) і хутчэй за ўсё, аналягічны вынік на плоскасьці быў ужо вядомы. Гэтая тэарэма носіць імя Мэнэлая, бо ранейшых пісьмовых успамінаў аб гэтым выніку не захавалася.

Доказ

Правядзем праз пункт С прамую, паралельную прамой AB, і абазначым цераз K пункт перасячэньня гэтай прамой з прамой DF. Трохкутнікі $\triangle AFE$ і $\triangle CKE$ падобныя (па двум вуглам), таму

${|AF| \over |CK|}={|EA| \over |EC|}$

і, значыць —

$|CK|={|AF|\cdot |EC| \over |EA|}$.

З другога боку, падобнымі зьяўляюцца таксама і трохкутнікі $\triangle BFD$ і $\triangle CKD$, таму

${|FB| \over |CK|}={|BD| \over |DC|}$

і, такім чынам —

$|CK|={|FB|\cdot |DC| \over |BD|}$.

Але ў такім выпадку

${|AF|\cdot |EC| \over |EA|}={|FB|\cdot |DC| \over |BD|}$

або

${|AF| \over |FB|}\cdot {|BD| \over |DC|}\cdot {|CE| \over |EA|}=1$.

Магчымыя два разьмяшчэньні пунктаў $D,E$ і $F$, альбо два зь іх ляжаць на адпаведных баках трохкутніка і адзін на падаўжэньні, альбо ўсе тры ляжаць на падаўжэньнях адпаведных бакоў, адсюль для адносін накіраваных адрэзкаў маем

${\frac {AE}{EC}}\cdot {\frac {CD}{DB}}\cdot {\frac {BF}{FA}}=-1.$