Сталая Капрэкара

Сталая Капрэкара — лік, роўны 6174.

Функцыя Капрэкара

Лік 6174 мае наступную асаблівасьць. Абярэм любы чатырохзначны лік n, большы за 1000, у якім ня ўсе лічбы аднолькавыя (заўжды маецца на ўвазе выкарыстаньне дзясятковае сыстэмы зьлічэньня, калі не агаворанае іншае). Разьмесьцім лічбы спачатку ў парадку ўзрастаньня, затым у парадку зьмяншэньня. Аднімем ад большага меншае. Робячы перастаноўкі лічбаў і адніманьні, нулі трэба захоўваць. Апісанае дзеяньне назавем функцыяй Капрэкара K(n). Паўтараючы гэты працэс з атрыманымі рознасьцямі, ня больш чым за сем крокаў атрымаем лік 6174, які затым узнаўляцьмець сам сябе.

Гэтая ўласьцівасьць ліку 6174 была адкрытая ў 1949 годзе індыйскім матэматыкам Дататрэяй Капрэкарам, у гонар якога й атрымала сваю назву.

Прыклады

Для ліку 3412:

4321 − 1234 = 3087 →

8730 − 378 = 8352 →

8532 − 2358 = 6174;

Для ліку 1100:

1100 − 11 = 1089 →

9810 − 189 = 9621 →

9621 − 1269 = 8352 →

8532 − 2358 = 6174.

Абагульненьні

Сярод трохзначных лікаў аналягічную ўласьцівасьць мае лік 495 (працэдура сыходзіцца да яго максымум праз шэсьць ітэрацыяў для любога трохзначнага ліку без паўтаральных лічбаў). Для лічбаў з большай, чым 4, колькасьюц знакаў, пераўтварэньне Капрэкара ў большасьці выпадкаў рана ці позна прыводзіць да цыклічных паўтарэньняў лікаў, але не да нерухомага пункту n = K(n). Для пяцізначных лікаў непухомага пункту ня існуе. Маецца два шасьцізначныя лікі, якія зьяўляюцца нерухомымі пунктамі пераўтварэньня Капрэкара (549 945 і 631 764), сямізначных лікаў з такой уласьцівасьцю няма.

Лёгка даказаць непасрэдным правяраньнем, што любы лік віду 633…331766…664 (дзе колькасьць лічбаў у пасьлядоўнасьці шасьцёркаў і тройкаў аднолькавая) зьяўляецца нерухомым пунктам n = K(n). Сама сталая Капрэкара таксама ёсьць лікам гэтага віду. Аднак не любы нерухомы пункт можа быць запісаны ў такім відзе.

Вонкавыя спасылкі

• Пасьлядоўнасьць A099009 — пасьлядоўнасьць нерухомых пунктаў функцыі Капрэкара.
• Weisstein, Eric W. KaprekarRoutine на сайце Wolfram Mathworld