Раўнаньне Ойлера-Лягранжа

Раўнаньні Ойлера-Лягранжа (у фізыцы таксама раўнаньні Лягранжа — Ойлера, раўнаньні Лягранжа) зьяўляюцца асноўнымі формуламі варыяцыйнага вылічэньня, з дапамогай якіх шукаюцца стацыянарныя кропкі й экстрэмуму функцыяналаў. У прыватнасьці, гэтыя ўраўненьні шырока выкарыстоўваюцца ў задачах аптымізацыі й сумесна з прынцыпам стацыянарнага дзеяньня выкарыстоўваюцца для вылічэньні траекторый ў мэханіцы. У тэарэтычнай фізыцы наогул гэта (клясычныя) ўраўненьні руху ў кантэксьце атрыманьня іх з напісанага відавочна выразы для дзеяньня (лагранжыяна).

Выкарыстаньне ўраўнаньняў Ойлера-Лягранжа для знаходжаньня экстрэмуму функцыяналу ў пэўным сэнсе аналягічна выкарыстаньню тэарэмы дыфэрэнцыяльнага вылічэньня, якая сьцьвярджае, што толькі ў кропцы, дзе першая вытворная функцыі зьвяртаецца ў нуль, гладкая функцыя можа мець экстрэмуму (у выпадку вэктарнага арґумэнту прыраўноўваецца нуля градыент функцыі, то ёсьць вытворная па вэктарным арґумэнту). Дакладней кажучы, гэта прамое абагульненьне адпаведнай формулы на выпадак функцыяналаў-функцыяў бязьмежнамернага арґумэнту.

Фармулёўка

Пусьць заданы функцыянал

$J(f)=\int \limits _{a}^{b}F(x,f(x),f'(x))\,dx$

на прасторы гладкіх функцыяў $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, дзе праз $f'$ абазначэнная першая праізводная $f$ па $x$.

Дапусьцім, што падынтэґральная функцыя $F(x,f(x),f'(x))$, двойчы бесьперапынна дыферэнцыруема. Функцыя $F$ назваецца функцыей Лягранжа, ці ляґранжыянам.

Калі функцыянал $J$ дасягае экстрэмуму на нейкай функцыі $f$, то для яе мусіць выканавацца звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненьне

${\frac {\partial F}{\partial f}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial F}{\partial f'}}=0,$

каторае назваецця ўраўненьнем Ойлера-Лягранжа.