Лікі харшад

Лік харшад, H-лік, лік Нівэна — цэлы лік, які дзеліцца на суму сваіх лічбаў без астатку. Напрыклад, лік 730 ёсьць харшадавым, бо 730 ÷ (7 + 3 + 0) = 73. Відавочна, што ўсе лікі ад 1 да 10 ёсьць харшадавымі.

Лікі харшад былі вынайдзеныя індыйскім матэматыкам Д. Р. Капрэкарам(en).

Апісаньне

Хай X — дадатны цэлы лік з m разрадаў, запісаны ў базысе n, і ягоныя разрады a_i (i = 0, 1, ..., m − 1) (вынікае, што a_i павінна быць роўная нулю або любому цэламу ліку да n − 1.). X можа быць выражаная як

X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.

Калі існуе цэлы лік A такі, што сапраўдны ніжэйшы выраз, тады X — лік харшад у базысе n:

X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.

Першыя 50 лікаў харшад, што складаюцца больш чым з аднаго разраду, у базысе 10 наступныя:

10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200.

Лік, што зьяўляецца лікам харшад у любым базысе, завецца ўсе-харшадавым, абагуленым харшадавым або ўсе-Нівэнавым лікам. Такіх лікаў усяго чатыры: 1, 2, 4 і 6.

Этымалёгія

Слова «харшад» паходзіць ад санскр. harṣa, што азначае «вялікая радасьць». Назва «лік Нівэна» — у гонар матэматыка Айвэна Мортана Нівэна(en), які спэцыялізаваўся на тэорыі лікаў.

Якія лікі могуць быць лікамі харшад?

Лік-аснова базысу і ўсе ягоныя ступені заўсёды зьяўляюцца лікамі харшад у сваім базысе, бо заўсёды будуць уяўляць зь сябе, напрыклад, ступені ліку «10» і 1 + 0 = 1.

Просты лік, меншы за базысны лік або роўны яму, таксама зьяўляецца лікам харшад.

Хоць фактарыяльная пасьлядоўнасьць і пачынаецца зь лікаў харшад у базысе 10, ня ўсе фактарыялы зьяўляюцца лікамі харшад. 432! — першы такі лік.

Пасьлядоўнасьці лікаў харшад

Хэлен Дж. Грандмэн(en) у 1994 годзе даказала, што ў базысе 10 не існуе 21 пасьлядоўнага цэлага, якія былі б лікамі харшад. Яна таксама знайшла першую пасьлядоўнасьць з 20 цэлых лікаў, якія ёсьць харшадавымі; яны пераўзыходзяць 10^{44 363 342 786}.

У двайковай сыстэме існуе бясконцая колькасьць пасьлядоўнасьцяў з чатырох лікаў харшад; у трайковай — безьліч пасьлядоўнасьцяў з шасьці харшадавых лікаў. Гэтыя факты былі даказаныя Ц. Т. Кэем(en) у 1996 годзе.

Увогуле, такія максымальныя пасьлядоўнасьці пачынаюцца ад N · b^k — b да N · b^k + (b-1), дзе b — базыс, k — адносна вялікая ступень, і N — канстанта. Інтэрпаляцыя нулёў у N не зьмяняе пасьлядоўнасьці сумы разрадаў, таму любое рашэньне магчыма прымяніць да любога большага, проста інтэрпалюючы неабходную колькасьць нулёў, так як 21, 201 і 2001 — лікі харшад у базысе 10. Адпаведна любое рашэньне дапускае бясконцую колькасьць рашэньняў.

Разьлік шчыльнасьці

Дапусьцім, што N(x) пазначае колькасьць лікаў харшад ≤ x, тады для любога ε > 0,

x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}

як даказалі Жан-Мары дэ Канінк(en) і Нікаля Даён; акрамя таго, дэ Канінк, Даён і Kátai даказалі, што

N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}}

дзе c = (14/27) log 10 ≈ 1,1939.

Нівэнаморфныя лікі

Нівэнаморфны лік або харшадаморфны лік — такі цэлы t, што ў гэтай сыстэме зьлічэньня магчыма знайсьці такі лік харшад Nt, сума разрадаў якога роўная t, і гэты лік Nt будзе сканчацца лікам t.

Напрыклад, 18 — нівэнаморфны лік:

 Сума разрадаў ліку 16218 - 18
    18 ёсьць дзельнікам 16218
    16218 сканчаецца на 18

Сандра Баскара вызначыў, што ўсе цэлыя лікі ў базысе 10, акрамя 11, ёсьць нівэнаморфнымі.

Крыніцы і заўвагі

Літаратура

Sandro Boscaro. Nivenmorphic Integers // Journal of Recreational Mathematics №3 (28). — 1996—1997. — С. 201—205.
H. G. Grundmann. Sequences of consecutive Niven numbers // «Fibonacci Quarterly» №32. — 1994. — С. 174—175.
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon. On the number of Niven numbers up to x // «Fibonacci Quarterly» том 41,5, лістапад 2003. — С. 431—440.
Jean-Marie De Koninck, Nicolas Doyon і I. Katái. On the counting function for the Niven numbers // Acta Arithmetica №106. — 2003. — С. 265—275.
Ейтс, Самюэл. Репьюниты и десятичные периоды = Repunits and rependents / Пер. с англ. В. Г. Столяра, под редакцией Д. А. Митькина. — Москва: «Мир», 1992. — С. 131-133. — ISBN 5-03-002405-0

Вонкавыя спасылкі

Злучыць^?