Градыент

Градые́нт — характарыстыка, якая паказвае накірунак найхутчэйшага ўзрастаньня нейкай велічыні, значэньне якой зьмяняецца ад аднаго пункту прасторы да другога. Напрыклад, калі ўзяць вышыню паверхні Зямлі над узроўнем мора (2-мерная прастора), то яе градыент у кожным пункце паверхні будзе накіраваны «ў горку».

На гэтых малюнках скалярныя палі паказаныя чорным і белым колерамі, чорны колер адпавядае больш высокім значэньням. Градыент, што адпавядае гэтым палям адлюстраваны сінімі срэлкамі.

Для выпадку трохмернай прасторы, градыентам называюць вектарную функцыю з кампанэнтамі ${\frac {\partial \varphi }{\partial x}}$, ${\frac {\partial \varphi }{\partial y}}$, ${\frac {\partial \varphi }{\partial z}}$, дзе $\varphi$ — некаторая скалярная функцыя каардынат $x$, $y$, $z$.

Калі $\varphi$ — функцыя $n$ зьменных $x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}$, то яе градыентам называюць $n$-мерны вэктар

$\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}},\;\ldots ,\;{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}\right),$

кампанэнты якога роўныя частковым вытворным $\varphi$ па ўсіх яе аргумэнтах.

Градыент абазначаюць $\mathrm {grad} \,\varphi$ альбо з выкарыстаньнем апэратару набла, $\nabla \varphi$.

З азначэньня градыенту выцякае, што:

$\mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}_{z}.$

Сэнс градыенту адвольнай скалярнай функцыі $f$ у тым, што яго скалярны здабытак з бясконца малым вэктарам перамяшчэньня $d\mathbf {x}$ дае поўны дыфэрэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным зьмяненьні каардынат у прасторы, на якім вызначана $f$, гэта значыць лінейную частку зьмяненьня $f$ пры зруху на $d\mathbf {x}$. Калі скарыстаць адну і тую ж літару для абазначэньня функцыі ад вэктару і функцыі ад яго каардынат, можна запісаць:

$df={\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\,dx_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\,dx_{3}+\ldots =\sum _{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).$

Варта заўважыць, што паколькі формула поўнага дыфэрэнцыялу не залежыць ад віду каардынат $x_{i}$, гэта значыць ад прыроды парамэтраў x увогуле, то атрыманы дэфэрэнцыял зьяўляецца інварыянтам, гэта значыць скалярма, пры адвольных праўтварэньнях каардынат, а паколькі $d\mathbf {x}$ — гэта вэктар, то градыент, што падлічаны звычайным чынам, аказваецца каварыянтным вэктарам, гэта значыць вэктарам, які прадстаўлены ў дуальным базісе, які толькі і можна атрымаць са скаляру пры простым сумаваньні здабыкаў каардынат звычайнага кантраварыянтнага, гэта значыць вэктарам, які запісаны ў звычайным базісе. Такім чынам, выраз (наогул кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

$df=\sum _{i}(\partial _{i}f)\,dx^{i}$

альбо апускаючы па правілу Айнштайна знак сумаваньня,

$df=(\partial _{i}f)\,dx^{i}$

(у артанарміраваным базісе мы можа пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі раней). Аднак градыент застаецца каварыянтным вэктарам у адвольных крывалінейных каардынатах.

Прыклад

Напрыклад, градыент функцыі $\varphi (x,\;y,\;z)=2x+3y^{2}-\sin z$ будзе ўяўляць:

$\nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\;{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z)$

У фізыцы

У розных галінах фізыкі выкарысоўваюць панятак градыенту адвольных фізычных палёў.

Напрыклад, градыент канцэнтрацыі — нарастаньне альбо памяньшэньне па якім-небудзь накірунку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, градыент тэмпэратуры — павелічэньне альбо памяньшэньне па накірунку тэмпэратуры асяродзьдзя і г.д.

Геамэтрычны сэнс

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі $\varphi$:

$\gamma (h)=\{(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\mid \varphi (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=h\}.$

Няцяжка паказаць, што градыент функцыі $\varphi$ у пункце ${\vec {x}}{\,}^{0}$ пэрпэндыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэты пункт. Модуль градыенту паказвае максымальную хуткасьць зьмяненьня функцыі ў навакольлі ${\vec {x}}{\,}^{0}$, гэта значыць частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні адлюстроўваюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыенту паказвае крутасьць спуску альбо пад'ёму ў дадзеным пункце.

Сувязь з вытворнай па накірунку

Выкарыстоўваючы правіла дыфэрэнцаваньня складанай функцыі, няцяжка паказаць, што вытворная функцыі $\varphi$ па накірунку ${\vec {e}}=(e_{1},\;\ldots ,\;e_{n})$ роўная скалярнаму здабытку градыенту $\varphi$ на адзінкавы вэктар ${\vec {e}}$:

${\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}e_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{n}}}e_{n}=(\nabla \varphi ,\;{\vec {e}})$

Такім чынам, для падліку вытворнай па адвольнаму накірунку дастаткова ведаць градыент функцыі, гэта значыць вэктар, кампанэнты якога зьяўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах

$\operatorname {grad} \,U(q_{1},\;q_{2},\;q_{3})={\frac {1}{H_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{1}}}{\vec {e}}_{1}+{\frac {1}{H_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{2}}}{\vec {e}}_{2}+{\frac {1}{H_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q_{3}}}{\vec {e}}_{3},$

дзе $H_{i}$ — каэфіцыэнты Ламэ.

Цыліндрычныя каардынаты

Каэфіцыэнты Ламэ:

${\begin{matrix}H_{1}=1;\\H_{2}=r;\\H_{3}=1.\end{matrix}}$

Адсюль:

$\operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e_{z}}}.$

Сфэрычныя каардынаты

Каэфіцыэнты Ламэ:

${\begin{matrix}H_{1}=1;\\H_{2}=r;\\H_{3}=r\sin {\theta }.\end{matrix}}$

Адсюль:

$\operatorname {grad} \,U(r,\;\theta ,\;\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e_{\varphi }}}.$